Метод локализации
Метод локализации — метод синтеза систем автоматического управления нелинейными и нестационарными объектами, включающий формирование управления как функции вектора скорости и обеспечивающий локализацию и подавление действия возмущений.
Формулировка задачи синтеза
Рассматривает задача управления нелинейными и нестационарными объектами, модель поведения которых имеет вид
{ x ˙ = f ( t , x , u ) , y = g ( t , x ) , {displaystyle left{{egin{matrix}{dot {x}}=f(t,x,u),y=g(t,x),end{matrix}} ight.}
где x ∈ R n {displaystyle xin R^{n}} ; ( y , u ) ∈ R m {displaystyle (y,u)in R^{m}} ; m ⩽ n {displaystyle mleqslant n} ; f {displaystyle f} и g {displaystyle g} - однозначные непрерывно дифференцируемые функции. Явная зависимость правой части от t {displaystyle t} отражает действие возмущений, которые могут быть порождены как нестационарностью характеристик, так и действием аддитивных (сигнальных) возмущений.
Цель функционирования состоит в организации свойства:
lim y ( t ) = v {displaystyle lim y(t)=v} при t → ∞ {displaystyle t ightarrow infty } .
Динамика процесса y ( t ) → v {displaystyle y(t) ightarrow v} должна отвечать требованиям по быстродействию и колебательности. В соответствии с этими требованиями конструируется эталонное (желаемое) дифференциальное уравнение для y {displaystyle y} , которому необходимо подчинить движение объекта.
Задачей синтеза является отыскание такого закона управления u ( ⋅ ) {displaystyle u(cdot )} , чтобы замкнутая система
{ x ˙ = f ( t , x , u ( ⋅ ) ) , y = g ( t , x ) {displaystyle left{{egin{matrix}{dot {x}}=f(t,x,u(cdot )),y=g(t,x)end{matrix}} ight.}
отвечала требованиям к статике и динамике.
Идея метода локализации
Метод локализации предполагает, что управление формируется не только в виде функции состояния x ( t ) {displaystyle x(t)} , но и в функции вектора скорости x ˙ ( t ) {displaystyle {dot {x}}(t)} . Если движение объекта описывается уравнением x ˙ ( t ) = f ( t , x , u ) {displaystyle {dot {x}}(t)=f(t,x,u)} , то использование x ˙ {displaystyle {dot {x}}} означает текущую оценку правой части уравнения и, следовательно, действия всех возмущений и проявления всех свойств объекта управления. Полагается, что управление имеет вид
u = u ( x , x ˙ , v ) {displaystyle u=u(x,{dot {x}},v)} .
Такое управление придает дополнительные технические возможности, которые объясняются эффектом локализации, хорошо «видимым» при структурной интерпретации управления в функции вектора скорости.
Управление объектом первого порядка
Для иллюстрации метода локализации рассматривается задача управления нелинейным нестационарным объектом вида
x ˙ = f ( t , x ) + b ( t , x ) u {displaystyle {dot {x}}=f(t,x)+b(t,x)u} , b ( t , x ) > 0 {displaystyle b(t,x)>0} , ( x , u ) ∈ R 1 {displaystyle (x,u)in R^{1}}
где x {displaystyle x} - состояние объекта; выход объекта y = x {displaystyle y=x} ; u {displaystyle u} - управление.
От замкнутой системы требуются динамические свойства, соответствующие дифференциальному уравнению
x ˙ = F ( x , v ) {displaystyle {dot {x}}=F(x,v)} , v ∈ R 1 {displaystyle vin R^{1}} ,
здесь F {displaystyle F} - уравнение эталонной (желаемой) динамики.
Управление организуется по закону
u = k ( F ( x , v ) − x ˙ ) {displaystyle u=k(F(x,v)-{dot {x}})} ,
где k {displaystyle k} — положительный коэффициент. При подстановке закона управления в уравнение объекта получается система вида
x ˙ = b k 1 + b k F ( x , v ) + 1 1 + b k f ( t , x ) {displaystyle {dot {x}}={{bk} over {1+bk}}F(x,v)+{{1} over {1+bk}}f(t,x)} .
Видно, что при увеличении коэффициента k {displaystyle k} , находящегося в нашем распоряжении, уравнение системы приближается к заданному и в пределе, при k → ∞ {displaystyle k ightarrow infty } , вырождается в него.
