11.06.2023

Расслоение Хопфа

Расслоение Хопфа — пример локально тривиального расслоения трёхмерной сферы над двумерной со слоем-окружностью:

S 1 ↪ S 3 → p S 2 {displaystyle S^{1}hookrightarrow S^{3}{xrightarrow { p,}}S^{2}} .

Расслоение Хопфа не является тривиальным. Является также важным примером главного расслоения.

Одним из самых простых способов задания этого расслоения является представление трёхмерной сферы S 3 {displaystyle S^{3}} как единичной сферы в C 2 {displaystyle mathbb {C} ^{2}} , а двумерной сферы S 2 {displaystyle S^{2}} как комплексной проективной прямой C P 1 {displaystyle mathbb {C} P^{1}} . Тогда отображение:

p : ( z 1 , z 2 ) ↦ ( z 1 : z 2 ) {displaystyle p:(z_{1},z_{2})mapsto (z_{1}:z_{2})}

и задаёт расслоение Хопфа. При этом слоями расслоения будут орбиты свободного действия группы S 1 {displaystyle S^{1}} :

θ : ( z 1 , z 2 ) ↦ ( θ z 1 , θ z 2 ) {displaystyle heta :(z_{1},z_{2})mapsto ( heta z_{1}, heta z_{2})} ,

где окружность представлена как множество единичных по модулю комплексных чисел:

S 1 = { θ ∣ θ ∈ C , | θ | = 1 } {displaystyle S^{1}={ heta mid heta in mathbb {C} ,,| heta |=1}} .

Обобщения

Совершенно аналогично, нечётномерная сфера S 2 n + 1 {displaystyle S^{2n+1}} расслаивается со слоем-окружностью над C P n {displaystyle mathbb {C} P^{n}} . Иногда это расслоение также называют расслоением Хопфа.

Также (помимо «комплексной») существуют вещественная, кватернионная и октавная версии таких семейств расслоений. Они начинаются соответственно с:

S 0 ↪ S 1 → S 1 {displaystyle S^{0}hookrightarrow S^{1} ightarrow S^{1}} (вещественная), S 1 ↪ S 3 → S 2 {displaystyle S^{1}hookrightarrow S^{3} ightarrow S^{2}} (комплексная — собственно расслоение Хопфа), S 3 ↪ S 7 → S 4 {displaystyle S^{3}hookrightarrow S^{7} ightarrow S^{4}} (кватернионная), S 7 ↪ S 15 → S 8 {displaystyle S^{7}hookrightarrow S^{15} ightarrow S^{8}} (октавная).

Такие расслоения сферы S n {displaystyle S^{n}} , для которых и слой, и база, и тотальное пространство являются сферами, возможны только в случаях n ∈ { 1 , 3 , 7 , 15 } {displaystyle nin {1,3,7,15}} . Исключительность этих случаев связана с тем, что умножение в R n {displaystyle mathbb {R} ^{n}} без делителей нуля может быть определено только при n ∈ { 1 , 2 , 4 , 8 } {displaystyle nin {1,2,4,8}} .