Фильтр с конечной импульсной характеристикой

Фильтр с конечной импульсной характеристикой (Нерекурсивный фильтр, КИХ-фильтр) или FIR-фильтр (FIR сокр. от finite impulse response — конечная импульсная характеристика) — один из видов линейных цифровых фильтров, характерной особенностью которого является ограниченность по времени его импульсной характеристики (с какого-то момента времени она становится точно равной нулю). Такой фильтр называют ещё нерекурсивным из-за отсутствия обратной связи. Знаменатель передаточной функции такого фильтра — константа.

Динамические характеристики

Разностное уравнение, описывающее связь между входным и выходным сигналами фильтра:

y ( n ) = b 0 x ( n ) + b 1 x ( n − 1 ) + . . . + b P x ( n − P ) {displaystyle yleft(n ight)=b_{0}xleft(n ight)+b_{1}xleft(n-1 ight)+...+b_{P}xleft(n-P ight)}

где P {displaystyle P} — порядок фильтра, x ( n ) {displaystyle x(n)} — входной сигнал, y ( n ) {displaystyle y(n)} — выходной сигнал, а b i {displaystyle b_{i}} — коэффициенты фильтра.

Иными словами, значение любого отсчета выходного сигнала определяется суммой масштабированных значений P {displaystyle P} предыдущих отсчетов в силу свойства линейности. Можно сказать иначе: значение выхода фильтра в любой момент времени есть значение отклика на мгновенное значение входа и сумма всех постепенно затухающих откликов P {displaystyle P} предыдущих отсчетов сигнала, которые всё ещё оказывают влияние на выход (после P {displaystyle P} отсчетов импульсная переходная функция становится равной нулю, поэтому все члены после P {displaystyle P} -го тоже станут равными нулю). Запишем предыдущее уравнение в более ёмком виде:

y ( n ) = ∑ i = 0 P b i x ( n − i ) {displaystyle yleft(n ight)=sum _{i=0}^{P}b_{i}xleft(n-i ight)}

Для того, чтобы найти ядро фильтра, положим

x ( n ) = δ ( n ) {displaystyle x(n)=delta (n)}

где δ ( n ) {displaystyle delta (n)} — дельта-функция. Тогда импульсная характеристика КИХ-фильтра может быть записана как:

h ( n ) = ∑ i = 0 P b i δ ( n − i ) {displaystyle hleft(n ight)=sum _{i=0}^{P}b_{i}delta left(n-i ight)}

Z-преобразование импульсной характеристики даёт нам передаточную функцию КИХ-фильтра:

H ( z ) = ∑ i = 0 P b i z − i {displaystyle Hleft(z ight)=sum _{i=0}^{P}b_{i}z^{-i}}

Свойства

КИХ-фильтр обладает рядом полезных свойств, из-за которых он иногда более предпочтителен в использовании, чем БИХ-фильтр. Вот некоторые из них:

КИХ-фильтры устойчивы.
КИХ-фильтры при реализации не требуют наличия обратной связи.
Фаза КИХ-фильтров может быть сделана линейной

Прямая форма КИХ-фильтра

КИХ-фильтры могут быть реализованы с использованием трех элементов: умножитель, сумматор и блок задержки. Вариант, показанный на рисунке, есть прямая реализация КИХ-фильтров типа 1.

Реализация прямой формы КИХ-фильтра