Сфера Римана
Сфера Римана — наглядное изображение множества C ^ = C ∪ { ∞ } {displaystyle {widehat {mathbb {C} }}=mathbb {C} cup {infty }} в виде сферы, подобно тому, как множество действительных чисел изображают в виде прямой и как множество комплексных чисел изображает в виде плоскости. По этой причине термин «сфера Римана» часто используется как синоним к термину «множество комплексных чисел, дополненных бесконечно удалённой точкой», наряду с термином «расширенная комплексная плоскость».
При более формальном подходе под сферой Римана понимается сфера в пространстве R 3 {displaystyle mathbb {R} ^{3}} , задаваемая уравнением x 2 + y 2 + z 2 = z {displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=z} , со стереографической проекцией в плоскость O x y {displaystyle Oxy} , отождествляемой с комплексной плоскостью. Именно об этой формально определённой конструкции далее пойдёт речь.
Описание
Рассмотрим трёхмерное евклидово пространство R 3 {displaystyle mathbb {R} ^{3}} . Координаты точек трёхмерного пространства будем обозначать ( ξ , η , ζ ) ∈ R 3 {displaystyle (xi ,eta ,zeta )in mathbb {R} ^{3}} . В R 3 {displaystyle mathbb {R} ^{3}} рассмотрим сферу S {displaystyle S} , касающуюся плоскости O ξ η {displaystyle Oxi eta } в точке ( 0 ; 0 ; 0 ) {displaystyle (0;0;0)} , с диаметром 1 {displaystyle 1} . Такая сфера задаётся уравнением
S : ξ 2 + η 2 + ζ 2 = ζ {displaystyle Scolon xi ^{2}+eta ^{2}+zeta ^{2}=zeta } .Каждой точке плоскости ( ξ ; η ; 0 ) ∈ O ξ η {displaystyle (xi ;eta ;0)in Oxi eta } можно поставить в соответствие точку сферы M ∈ S {displaystyle Min S} следующим образом. Проведём через точку N = ( 0 ; 0 ; 1 ) {displaystyle N=(0;0;1)} и ( ξ ; η ; 0 ) {displaystyle (xi ;eta ;0)} прямую; эта прямая пересечёт сферу в ещё одной точке, которую и будем считать соответствующей точке ( ξ ; η ; 0 ) {displaystyle (xi ;eta ;0)} . Такое соответствие называется стереографической проекцией с центром в N {displaystyle N} . Каждой точке плоскости оно однозначно сопоставляет точку сферы. Однако не каждой точке сферы сопоставляется точка плоскости: точке N {displaystyle N} не соответствует никакая точка плоскости. Таким образом, мы имеем взаимо-однозначное соответствие между плоскостью O ξ η {displaystyle Oxi eta } и S ∖ { N } {displaystyle Ssetminus {N}} .
Плоскость O ξ η {displaystyle Oxi eta } можно отождествить с комплексной плоскостью C {displaystyle mathbb {C} } , x + i y = ( ξ , η , 0 ) {displaystyle x+iy=(xi ,eta ,0)} . Тогда определённое выше соответствие задаёт непрерывное взаимо-однозначное отображение τ : C → S ∖ { N } {displaystyle au colon mathbb {C} ightarrow Ssetminus {N}} . Чтобы достроить это отображение до биекции на всю сферу, дополним множество C {displaystyle mathbb {C} } ещё одной точкой, которую будем считать прообразом точки N {displaystyle N} . Эту точку будем называть бесконечно удалённой точкой и обозначим её через ∞ {displaystyle infty } . Мы получили биекцию π : C ∪ { ∞ } → S {displaystyle pi colon mathbb {C} cup {infty } ightarrow S} . Множество C ∪ { ∞ } {displaystyle mathbb {C} cup {infty }} называется расширенным множеством комплексных чисел, сфера S {displaystyle S} — сферой Римана.
Описанная конструкция часто используется во многих учебниках для наглядного определения расширенного множества комплексных чисел. Действительно, топологию на этом множестве можно определить, положив открытыми множествами прообразы открытых множеств по π {displaystyle pi } , операции на бесконечность распространяются по непрерывности. Определение при помощи сферы Римана полностью описывает суть расширения множества комплексных чисел, к тому же, представляет её наглядную интерпретацию.
Формальное определение
Сфера S {displaystyle S} , задаваемая в пространстве R 3 {displaystyle R^{3}} уравнением
S : ξ 2 + η 2 + ζ 2 = ζ {displaystyle Scolon xi ^{2}+eta ^{2}+zeta ^{2}=zeta } ,вместе с отображением π : S → C ∪ { ∞ } {displaystyle pi colon S ightarrow mathbb {C} cup {infty }} , задаваемым как
π ( ξ , η , ζ ) = ξ + i η 1 − ζ {displaystyle pi (xi ,eta ,zeta )={frac {xi +ieta }{1-zeta }}}называется сферой Римана.
Отображение в определении можно заменить на обратное, смысл от этого не изменится.
Координаты
Численные координаты на расширенном множестве комплексных чисел вводятся тремя способами:
- аффинная комплексная координата z {displaystyle z} , способная принимать значение ∞ {displaystyle infty } ;
- проективные однородные комплексные координаты [ z 0 : z 1 ] {displaystyle [z_{0}:z_{1}]} ;
- трёхмерные вещественные координаты ξ , η , ζ {displaystyle xi ,eta ,zeta } , связанные уравнением:
Переход от одних координат к другим задаётся формулами:
z = z 1 z 0 {displaystyle z={frac {z_{1}}{z_{0}}}} z 0 : z 1 = [ ζ : ( ξ + i η ) ⇐ ζ > 0 0 : 1 ⇐ ζ = 0 {displaystyle z_{0}:z_{1}=left[{egin{matrix}zeta :(xi +ieta )&Leftarrow zeta >0 :1&Leftarrow zeta =0end{matrix}} ight.} { ξ + i η = z 1 + | z | 2 ζ = | z | 2 1 + | z | 2 {displaystyle left{{egin{matrix}xi +ieta ={dfrac {z}{1+|z|^{2}}}zeta ={dfrac {|z|^{2}}{1+|z|^{2}}}end{matrix}} ight.} z = ξ + i η 1 − ζ {displaystyle z={frac {xi +ieta }{1-zeta }}}Сферическая метрика
Сфера Римана позволяет ввести на множестве C {displaystyle mathbb {C} } иную метрику, отличную от евклидовой. Эта метрика называется сферической метрикой. Она определяется как евклидова метрика между соответствующими точками на сфере Римана. То есть, для двух чисел z 1 , z 2 ∈ C {displaystyle z_{1},z_{2}in mathbb {C} }
ρ ( z 1 , z 2 ) = ( ξ 1 − ξ 2 ) 2 + ( η 1 − η 2 ) 2 + ( ζ 2 − ζ 2 ) {displaystyle ho (z_{1},z_{2})={sqrt {(xi _{1}-xi _{2})^{2}+(eta _{1}-eta _{2})^{2}+(zeta ^{2}-zeta ^{2})}}}Нетрудно получить прямое выражение такого расстояния.
ρ ( z 1 , z 2 ) = | z 2 − z 1 | 1 + | z 1 | 2 1 + | z 2 | 2 {displaystyle ho (z_{1},z_{2})={frac {|z_{2}-z_{1}|}{{sqrt {1+|z_{1}|^{2}}}{sqrt {1+|z_{2}|^{2}}}}}}Евклидова и сферические метрики эквивалентны на C {displaystyle mathbb {C} } . Особенность сферической метрики в том, что она может быть продолжена на расширенное множество комплексных чисел, в отличие от евклидовой. Такое продолжение определяется точно также. Для двух элементов z 1 , z 2 ∈ C ∪ { ∞ } {displaystyle z_{1},z_{2}in mathbb {C} cup {infty }}
ρ ( z 1 , z 2 ) = ( ξ 1 − ξ 2 ) 2 + ( η 1 − η 2 ) 2 + ( ζ 2 − ζ 2 ) {displaystyle ho (z_{1},z_{2})={sqrt {(xi _{1}-xi _{2})^{2}+(eta _{1}-eta _{2})^{2}+(zeta ^{2}-zeta ^{2})}}}Прямое выражение для такого расстояния, когда одна из точек бесконечность, записывается иначе.
ρ ( z , ∞ ) = 1 1 + | z | 2 {displaystyle ho (z,infty )={frac {1}{sqrt {1+|z|^{2}}}}}Автоморфизмы
Автоморфизмами области U ⊂ C ∪ ∞ {displaystyle Usubset mathbb {C} cup infty } называются голоморфные биективные отображения этой области в себя. В случае автоморфизмов всего расширенного множества комплексных чисел обычно используют термин «автоморфизмы сферы Римана» — пример того, как термин «сфера Римана» используется в качестве синонима к термину «расширенное множество комплексных чисел». Автоморфизмами сферы Римана являются дробно-линейные преобразования (или преобразования Мёбиуса). Пусть
| a b c d | ≠ 0 {displaystyle left|{egin{matrix}a&bc&dend{matrix}} ight| eq 0}Дробно-линейное преобразование f : C ∪ ∞ → C ∪ ∞ {displaystyle fcolon mathbb {C} cup infty ightarrow mathbb {C} cup infty } определяется как
f ( z ) = a z + c b z + d {displaystyle f(z)={frac {az+c}{bz+d}}} ,достроенное до непрерывности во всех точках, где это выражение напрямую не определено.
Дробно-линейные отображения на сфере Римана перводят окружности в окружности.
Приложения
Помимо математики, сфера Римана известна в теоретической физике.
В специальной теории относительности сфера Римана является моделью небесной сферы. Преобразования Мёбиуса связаны с преобразованиями Лоренца, и описывают искажение небесной сферы для наблюдателя, движущегося с околосветовой скоростью.
Преобразования Мёбиуса и Лоренца связаны также со спинорами. В квантовой механике сфера Римана параметризует состояния систем, описываемых 2-мерным пространством (см. q-бит), в особенности спина массивных частиц со спином 1/2, таких как электрон. В этом контексте сферу Римана называют сферой Блоха и используют на ней координаты «широта-долгота» почти как на обычной сфере, только широту θ {displaystyle heta } отсчитывают от полюса и делят угол на 2, т. ч. 0 < θ < π / 2 {displaystyle 0< heta <pi /2} (см. рис.)
В таком случае верны соотношения:
z 0 : z 1 = cos θ : e i φ sin θ {displaystyle z_{0}:z_{1}=cos heta :e^{ivarphi }sin heta } { ξ + i η = e i φ sin 2 θ ζ − 1 = cos 2 θ {displaystyle left{{egin{matrix}xi +ieta =e^{ivarphi }sin {2 heta }zeta -1=cos {2 heta }end{matrix}} ight.}В поляризационной оптике сферу Римана называют сферой Пуанкаре, а оси координат — параметрами Стокса.
Внутренность сферы
Внутренность сферы (шар) допускает смысловое толкование в обоих указанных выше приложениях. Как небесная сфера является множеством светоподобных направлений пространства-времени, так и её внутренность соответствует направлениям времениподобным, то есть фактически релятивистским досветовым скоростям. Это пространство является гиперболическим (имеет постоянную отрицательную кривизну наподобие плоскости Лобачевского, только при размерности 3, а не 2); на него естественным образом распространяется действие преобразований Мёбиуса.
Внутренность сферы Блоха отвечает так называемым смешанным состояниям q-бита, и геометрически устроена как обычный шар.
Однако, и то и другое описывается положительно определёнными эрмитовыми матрицами размера 2×2, рассматриваемыми с точностью до умножения на положительное число.
