07.05.2023

Инъективное метрическое пространство

Инъективное метрическое пространство — метрическое пространство, обладающее определёнными свойствами; такими пространствами являются вещественная прямая, все метрические деревья, L ∞ {displaystyle L^{infty }} и другие.

Определение

Полное геодезическое метрическое пространство X {displaystyle X} называется инъективным (или гипервыпуклым), если произвольное семейство шаров в X {displaystyle X} имеет общую точку, если любые два шара в этом семействе пересекаются.

Связанные определения

Пространство X {displaystyle X} называется n {displaystyle n} -гипервыпуклым если любое семейство из n {displaystyle n} закнутых шаров B ¯ [ x i , r i ] {displaystyle {ar {B}}[x_{i},r_{i}]} таких, что r i + r j ≥ | x i − x j | X {displaystyle r_{i}+r_{j}geq |x_{i}-x_{j}|_{X}} имеет общую точку.
- 2 {displaystyle 2} -гипервыпуклое пространство также называется выпуклым.
Пространство X {displaystyle X} называется конечно или счётно гипервыпуклым если тоже условие выполняется для любого конечного (соответственно счётного) семейства шаров.

Примеры

Вещественная прямая, а также любой замкнутый интервал инъективвен.
Пространство ограниченных функций на любом пространстве с sup-нормой инъективно.
Любое метрическое дерево инъективно.
Пространство ℓ 1 {displaystyle ell ^{1}} является 3-гипервыпуклым, но не 4-гипервыпуклым.
Пространство Урысона U {displaystyle mathbb {U} } является конечно гипервыпуклым, но не счётно гипервыпуклым.

Свойства

В инъективном пространстве радиус любого множества равен половине его диаметра.
- Таким образом, инъективные пространства удовлетворяют самой сильной форме теоремы Юнга.
Инъективное пространство является полным.
Любое короткое отображение инъективного пространства конечного диаметра в себя фиксирует точку.
Метрическое пространство является инъективным тогда и только тогда, когда оно является инъективным объектом в категории метрических пространств и коротких отображений по отношению к экстремальным мономорфизмам.
- Иначе говоря, пространство X {displaystyle X} является инъективным, если для любого короткого отображения f : A → X {displaystyle fcolon A o X} и изометрического вложения ϕ : A → B {displaystyle phi colon A o B} существует короткое отображение g : B → X {displaystyle gcolon B o X} такое, что f = g ∘ ϕ {displaystyle f=gcirc phi } .
Любое метрическое пространство вкладывается в так называемую инъективную оболочку — минимальное инъективное пространство, содержащее исходное. (Инъективная оболочка аналогична выпуклой оболочке.)
- Инъективная оболочка данного метрического пространства определяется однозначно с точностью до изометрии, коммутирующей с вложением.
Конечно гипервыпуклое ограниченно компактное пространство инъетивно.
Полное 4-гипервыпуклое пространство конечно гипервыпукло.