Внешняя мера
Внешняя мера — одно из обобщений понятий длины, площади и объёма; является вещественнозначной функцией, определённой на всех подмножествах пространства, которая удовлетворяет нескольким дополнительным техническим условиям.
История
Общая теория внешней меры была разработана Константином Каратеодори с целью обеспечить основу для теории измеримых множеств и счётно-аддитивных мер. Работы Каратеодори по внешней мере нашли немало применений в теории измеримых множеств (внешняя мера, например, используется в доказательстве фундаментальной теоремы Каратеодори о продолжении), и была использована Хаусдорфом для определения метрического инварианта, обобщающего размерность, сейчас он называется размерностью Хаусдорфа.
Случай числовой прямой
Для произвольного подмножества E {displaystyle E} числовой прямой можно найти сколь угодно много различных систем, состоящих из конечного или счётного количества интервалов, объединение которых содержит множество E {displaystyle E} . Назовём такие системы покрытиями. Поскольку сумма длин интервалов, составляющих любое покрытие, является величиной неотрицательной, она ограничена снизу, и, значит, множество длин всех покрытий имеет точную нижнюю границу. Эта грань, зависящая только от множества E {displaystyle E} , и называется внешней мерой:
m ∗ E = inf { ∑ i Δ i } {displaystyle m^{*}E=inf left{sum _{i}Delta _{i} ight}}Варианты обозначения внешней меры:
m ∗ E = φ ( E ) = | E | ∗ {displaystyle m^{*}E=varphi (E)=|E|^{*}}Формальное определение
Пусть X {displaystyle X} — фиксированное множество. Внешней мерой называется функция μ ∗ : 2 X ⟶ [ 0 , + ∞ ] {displaystyle mu ^{*}colon 2^{X}longrightarrow [0,,+infty ]} , такая что
Пусть μ {displaystyle mu } — мера, определённая на кольце K {displaystyle K} . Внешней мерой, порождённой мерой μ {displaystyle mu } , называется функция μ ∗ : 2 X ⟶ [ 0 , + ∞ ] {displaystyle mu ^{*}colon 2^{X}longrightarrow [0,,+infty ]} , такая, что
Теорема. Внешняя мера μ ∗ {displaystyle mu ^{*}} , порождённая мерой μ {displaystyle mu } , является внешней мерой.
⊳ {displaystyle vartriangleright } Проверим пункт первый из определения внешней меры. μ ⩾ 0 ⇒ μ ∗ ⩾ 0 {displaystyle mu geqslant 0Rightarrow mu ^{*}geqslant 0} . μ ∗ {displaystyle mu ^{*}} определена на 2 X {displaystyle 2^{X}} .
∅ ∈ K : μ ∗ ( ∅ ) ⩽ ∑ n = 1 ∞ μ ( ∅ ) = 0 ⇒ μ ∗ ( ∅ ) = 0 {displaystyle varnothing in Kcolon mu ^{*}(varnothing )leqslant sum _{n=1}^{infty }mu (varnothing )=0Rightarrow mu ^{*}(varnothing )=0} .Проверим второй пункт определения. Пусть A ⊂ ⋃ n = 1 ∞ A n {displaystyle Asubset igcup _{n=1}^{infty }A_{n}} . Если существует такое множество A n {displaystyle A_{n}} из покрытия, что μ ∗ ( A n ) = + ∞ {displaystyle mu ^{*}(A_{n})=+infty } , то неравенство выполняется. Пусть дальше все множества из покрытия такие, что μ ∗ ( A n ) < + ∞ , ∀ n ⩾ 1 {displaystyle mu ^{*}(A_{n})<+infty ,,forall ngeqslant 1} . Возьмём произвольное ε > 0 {displaystyle varepsilon >0} , по определению точной нижней границы
∀ n ⩾ 1 ∃ B n k ∈ K , k ⩾ 1 , A n ⊆ ⋃ k = 1 ∞ B n k : μ ∗ ( A n ) > ∑ k = 1 ∞ μ ( B n k ) − ε 2 n {displaystyle forall ngeqslant 1,exists B_{n_{k}}in K,kgeqslant 1,,A_{n}subseteq igcup _{k=1}^{infty }B_{n_{k}}colon mu ^{*}(A_{n})>sum _{k=1}^{infty }mu (B_{n_{k}})-{frac {varepsilon }{2^{n}}}} .Тогда
⋃ n = 1 ∞ ⋃ k = 1 ∞ B n k ⊇ ⋃ n = 1 ∞ A n ⊇ A {displaystyle igcup _{n=1}^{infty }igcup _{k=1}^{infty }B_{n_{k}}supseteq igcup _{n=1}^{infty }A_{n}supseteq A} .Поскольку ⋃ n = 1 ∞ ⋃ k = 1 ∞ B n k {displaystyle igcup _{n=1}^{infty }igcup _{k=1}^{infty }B_{n_{k}}} является счётным объединением элементов кольца K {displaystyle K} , то
μ ∗ ( A ) ⩽ ∑ n = 1 ∞ ∑ k = 1 ∞ μ ( B n k ) < ∑ n = 1 ∞ ( μ ∗ ( A n ) + ε 2 n ) = ∑ n = 1 ∞ μ ∗ ( A n ) + ε , ε ⟶ 0 + {displaystyle mu ^{*}(A)leqslant sum _{n=1}^{infty }sum _{k=1}^{infty }mu (B_{n_{k}})<sum _{n=1}^{infty }{igl (}mu ^{*}(A_{n})+{frac {varepsilon }{2^{n}}}{igr )}=sum _{n=1}^{infty }mu ^{*}(A_{n})+varepsilon ,varepsilon longrightarrow 0+} . ⊲ {displaystyle vartriangleleft }Свойства внешней меры
Свойства внешней меры μ ∗ {displaystyle mu ^{*}} :
- ∀ n ⩾ 1 , A ⊆ ⋃ k = 1 n A k : μ ∗ ( A ) ⩽ ∑ k = 1 n μ ∗ ( A k ) {displaystyle forall ngeqslant 1,,Asubseteq igcup _{k=1}^{n}A_{k}colon mu ^{*}(A)leqslant sum _{k=1}^{n}mu ^{*}(A_{k})} .
⊳ {displaystyle vartriangleright } Действительно,
A ⊆ ⋃ k = 1 n A k ∪ ∅ ∪ ∅ ∪ ⋯ ⇒ μ ∗ ( A ) ⩽ ∑ k = 1 n μ ∗ ( A k ) + μ ∗ ( ∅ ) + μ ∗ ( ∅ ) + ⋯ = ∑ k = 1 n μ ∗ ( A k ) {displaystyle Asubseteq igcup _{k=1}^{n}A_{k}cup varnothing cup varnothing cup cdots Rightarrow mu ^{*}(A)leqslant sum _{k=1}^{n}mu ^{*}(A_{k})+mu ^{*}(varnothing )+mu ^{*}(varnothing )+cdots =sum _{k=1}^{n}mu ^{*}(A_{k})} . ⊲ {displaystyle vartriangleleft }- A ⊆ B ⇒ μ ∗ ( A ) ⩽ μ ∗ ( B ) {displaystyle Asubseteq BRightarrow mu ^{*}(A)leqslant mu ^{*}(B)} (монотонность).
⊳ {displaystyle vartriangleright } Вытекает из предыдущего свойства при n = 1 {displaystyle n=1} . ⊲ {displaystyle vartriangleleft }
