Гигантская компонента
Гигантская компонента — эффект, возникающий в схемах случайного размещения частиц по ячейкам при неограниченном росте количества частиц. Эффект заключается в том, что почти все частицы (в процентном отношении) собираются в одной ячейке.
Рассмотрим обобщенную схему размещения n частиц по N ячейкам:
η 1 + ⋯ + η N = n , ( 1 ) {displaystyle eta _{1}+dots +eta _{N}=n,qquad (1)}Обозначим через η ( 1 ) ≤ ⋯ ≤ η ( N ) {displaystyle eta _{(1)}leq dots leq eta _{(N)}} вариационный ряд случайных величин η 1 , … , η N {displaystyle eta _{1},dots ,eta _{N}} . Таким образом, η ( N ) {displaystyle ;eta _{(N)}} — максимальная компонента схемы (или максимальное число частиц в одной ячейке), а η ( N − 1 ) {displaystyle ;eta _{(N-1)}} — следующая по величине компонента.
Если при n → ∞ {displaystyle n o infty } случайная величина η ( N ) / n {displaystyle ;eta _{(N)}/n} имеет предельное распределение, не имеющее накопления в нуле, а η ( N − 1 ) / n {displaystyle ;eta _{(N-1)}/n} вырождается в ноль, то говорят, что в схеме размещения (1) возникает гигантская компонента.
Известно, например, что в классической схеме размещения гигантской компоненты нет, а в логарифмической схеме, описывающей длины циклов в случайной подстановке, гигантская компонента возникает при n → ∞ {displaystyle n o infty } так, что ln ( n ) / N → ∞ {displaystyle ln(n)/N o infty } , то есть при условии, что параметр N {displaystyle N} растет медленнее, чем ln ( n ) {displaystyle ln(n)} .
