Хронологическое упорядочение


В квантовой теории поля вводится операция хронологического произведения или хронологического упорядочения операторов. Эта операция обозначается T {displaystyle {mathcal {T}}} и для двух операторов A ( x ) {displaystyle A(x)} и B ( y ) {displaystyle B(y)} , которые зависят от координат и времени, определяется следующим образом:

T { A ( x ) B ( y ) } := { A ( x ) B ( y ) if  x 0 > y 0 , ± B ( y ) A ( x ) if  x 0 < y 0 . {displaystyle {mathcal {T}}left{A(x)B(y) ight}:={egin{cases}A(x)B(y)&{ ext{if }}x_{0}>y_{0},pm B(y)A(x)&{ ext{if }}x_{0}<y_{0}.end{cases}}}

где x 0 {displaystyle x_{0}} и y 0 {displaystyle y_{0}} -временные компоненты векторов x {displaystyle x} и y {displaystyle y} .

Иначе можно записать:

T { A ( x ) B ( y ) } := θ ( x 0 − y 0 ) A ( x ) B ( y ) ± θ ( y 0 − x 0 ) B ( y ) A ( x ) , {displaystyle {mathcal {T}}left{A(x)B(y) ight}:= heta (x_{0}-y_{0})A(x)B(y)pm heta (y_{0}-x_{0})B(y)A(x),}

где θ {displaystyle heta } - функция Хевисайда, а знак ± {displaystyle pm } зависит от природы оператора: в бозонном случае знак всегда +, в фермионном знак зависит от чётности перестановки операторов, необходимой для правильного порядка: увеличение временного аргумента происходит справа налево.

Поскольку операторы зависят от координат, операция временного упорядочения независима от координат только в случае, если операторы в точках, разделённых пространственно-подобным интервалом, коммутируют.

В общем случае, для произведения n операторов поля A1(t1), …, An(tn) T {displaystyle {mathcal {T}}} -упорядочение произведения операторов определяется по формуле:

T { A 1 ( t 1 ) A 2 ( t 2 ) ⋯ A n ( t n ) } = ∑ p θ ( t p 1 > t p 2 > ⋯ > t p n ) ε ( p ) A p 1 ( t p 1 ) A p 2 ( t p 2 ) ⋯ A p n ( t p n ) {displaystyle {mathcal {T}}{A_{1}(t_{1})A_{2}(t_{2})cdots A_{n}(t_{n})}=sum _{p} heta (t_{p_{1}}>t_{p_{2}}>cdots >t_{p_{n}})varepsilon (p)A_{p_{1}}(t_{p_{1}})A_{p_{2}}(t_{p_{2}})cdots A_{p_{n}}(t_{p_{n}})}

где суммирование идёт по всем p и по симметрической группе перестановок n-го порядка. Для бозонных операторов ε ( p ) = 1 {displaystyle varepsilon (p)=1} , для фермионных ε ( p ) = ( − 1 ) k {displaystyle varepsilon (p)=(-1)^{k}} , где k-чётность перестановки.






Яндекс.Метрика