Теорема Вика (в квантовой электродинамике)

Теорема Вика (в квантовой электродинамике) — утверждение, позволяющее вычислять элементы S {displaystyle S} — матрицы в n {displaystyle n} порядке теории возмущений.

Теорема Вика была сформулирована и доказана Д. Виком в 1950 г.

Как известно, матричный элемент перехода имеет вид:

⟨ f | S ( n ) | i ⟩ = 1 n ! ( − i e ) n ∫ d 4 x 1 … d 4 x n × ⟨ 0 | … b 2 f b 1 f . . . a 1 f … c 1 f T ( ψ ¯ 1 γ A 1 ψ 1 ) × … × ( ψ ¯ n γ A n ψ n ) c 1 i + … a 1 i + … b 1 i + … | 0 ⟩ . {displaystyle langle f|S^{(n)}|i angle ={frac {1}{n!}}(-ie)^{n}int d^{4}x_{1}ldots d^{4}x_{n} imes langle 0|ldots b_{2f}b_{1f}...a_{1f}ldots c_{1f}T({ar {psi }}_{1}gamma A_{1}psi _{1}) imes ldots imes ({ar {psi }}_{n}gamma A_{n}psi _{n})c_{1i}^{+}ldots a_{1i}^{+}ldots b_{1i}^{+}ldots |0 angle .}

Индексы 1 i , 2 i , … {displaystyle 1i,2i,ldots } нумеруют начальные частицы, а 1 f , 2 f , … {displaystyle 1f,2f,ldots } — конечные. Индексы 1 , 2 , … {displaystyle 1,2,ldots } у операторов ψ {displaystyle psi } и A {displaystyle A} означают ψ 1 = ψ ( x 1 ) {displaystyle psi _{1}=psi (x_{1})} и т. п. T {displaystyle T} — символ хронологического произведения операторов.

Формулировка

Теорема Вика утверждает, что среднее по вакууму от любого числа бозонных операторов равно сумме произведений всех возможных попарных средних этих операторов. При этом в каждой паре множители должны стоять в той же последовательности, что и в исходном произведении. Для фермионных операторов каждый член суммы входит со знаком плюс или минус в зависимости от того, чётно или нечётно число перестановок, необходимое для того, чтобы поставить рядом все усредняемые операторы.

Доказательство

Определим как нормальное произведение нескольких операторов N ( A B . . . Y Z ) {displaystyle N(AB...YZ)} , в котором все операторы рождения стоят слева от операторов уничтожения, а знак плюс или минус зависит от того, чётная или нечётная перестановка фермиевских операторов приводит к такому виду произведения. Определим, как удвоенное, произведение двух операторов A ∗ B ∗ = T ( A B ) − N ( A B ) {displaystyle A^{*}B^{*}=T(AB)-N(AB)} . Теорема Вика утверждает, что хронологическое произведение любого числа операторов можно представить в виде суммы нормальных произведений со всеми возможными удвоениями

T ( A B … Y Z ) = N ( A B … Y Z ) + N ( A ∗ B ∗ C D … Y Z ) + N ( A ∗ B C ∗ D … Y Z ) + … + N ( A ∗ B ∗ ∗ C ∗ ∗ ∗ D … X ∗ Y ∗ ∗ Z ∗ ∗ ∗ ) . {displaystyle T(ABldots YZ)=N(ABldots YZ)+N(A^{*}B^{*}CDldots YZ)+N(A^{*}BC^{*}Dldots YZ)+ldots +N(A^{*}B^{**}C^{***}Dldots X^{*}Y^{**}Z^{***}).}

Таким образом, хронологическое произведение операторов равно нормальному произведению, плюс сумма нормальных произведений с одним удвоением, где пара должна быть выбрана всеми возможными способами, плюс сумма нормальных произведений с двумя удвоениями, где две пары удвоения должны быть выбраны всеми возможными способами и т. д. Для того, чтобы преобразовать хронологическое произведение в нормальное, надо все операторы рождения переставить с операторами уничтожения, стоящими перед ними. При этом получается формула указанного выше вида. В неё будут входить удвоения только тех операторов, у которых порядок в хронологическом произведении отличается от порядка в нормальном произведении. Так как удвоения операторов, для которых оба порядка равносильны, равны нулю, можно считать, что в правой части формулы входят нормальные произведения со всеми возможными удвоениями.