13.10.2022

Связанные состояния в континууме


Связанные состояния в континууме (ССК) или локализованные состояния в континууме (ЛСК), англ. bound state in the continuum (BIC) — это неизлучающие собственные состояния открытой системы, чьи собственные энергии (частоты) лежат в спектре мод свободного пространства. Таким образом, ССК имеет следующие свойства

  • Энергия лежит в области непрерывного спектра (континуума) распространяющихся мод окружающего пространства;
  • Состояние не взаимодействует ни с одним из состояний континуума (не может излучать плоскую, цилиндрическую или сферическую волну и не может возбуждаться никакой волной), а значит обладает бесконечной излучательной добротностью;
  • Энергия вещественна в том случае, если в системе отсутствуют неизлучательные потери.
  • В силу волновой природы, данный феномен наблюдается не только в квантовой механике, но также и в фотонике и в теории упругости и т.д. Однако, CCK не следует путать с обычными связанными состояниями, поскольку их энергии не лежат в спектре излучательных мод континуума. Кроме того, ССК не следует путать с собственными состояниями таких систем как потенциальная яма с бесконечными стенками или резонатор с идеально проводящими стенками, поскольку такие системы не являются открытыми по определению.

    Классификация

    ССК Вигнера — фон Неймана

    Впервые связанные состояния в континууме были предсказаны в 1929 году в работе Юджина Вигнера и Джона фон Неймана. Были рассмотрены два потенциала, в которых существует ССК, появляющееся по двум различным причинам.

    В этой работе сначала выбирается сферически-симметричная волновая функция таким образом, чтобы быть квадратично-интегрируемой по всему пространству. Затем подбирается такой потенциал, чтобы эта волновая функция соответствовала нулевому значению энергии.

    Потенциал является сферически-симметричным, тогда волновое уравнение запишется следующим образом:

    − h 2 8 π 2 m Δ ψ + ( V ( r ) − E ) ψ = 0 , {displaystyle -{frac {h^{2}}{8pi ^{2}m}}Delta psi +(V(r)-E)psi =0,}

    при этом исчезают производные по углам, так как мы ограничиваемся рассмотрением только сферически-симметричных волновых функций:

    Δ = ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 = ∂ 2 ∂ r 2 + 2 r ∂ ∂ r , {displaystyle Delta ={frac {partial ^{2}}{partial x^{2}}}+{frac {partial ^{2}}{partial y^{2}}}+{frac {partial ^{2}}{partial z^{2}}}={frac {partial ^{2}}{partial r^{2}}}+{frac {2}{r}}{frac {partial }{partial r}},}

    Для того, чтобы E = 0 {displaystyle E=0} была собственным значением для сферически-симметричной волновой функции ψ = ψ ( r ) {displaystyle psi =psi (r)} , потенциал должен быть

    V = h 2 8 π 2 m ( ψ ′ ′ ψ + 2 ψ ′ r ψ ) {displaystyle V={frac {h^{2}}{8pi ^{2}m}}left({frac {psi ^{prime prime }}{psi }}+{frac {2psi ^{prime }}{rpsi }} ight)} .

    Получим конкретные значения ψ {displaystyle psi } и V {displaystyle V} , для которых будет наблюдаться ССК.

    Первый случай

    Рассмотрим функцию ψ = r α sin ⁡ r β {displaystyle psi =r^{alpha }{sin r^{eta }}} . Поскольку интеграл ∫ 0 ∞ 4 π r 2 | ψ ( r ) | 2 d r = ∫ 0 ∞ 4 π r 2 α + 2 sin 2 ⁡ r β d r {displaystyle int _{0}^{infty }4pi r^{2}|psi (r)|^{2}dr=int _{0}^{infty }4pi r^{2alpha +2}{sin ^{2}r^{eta }}dr} должен быть конечным, то рассматривая поведение при r = 0 {displaystyle r=0} , получим, что 2 α + β + 2 > − 1 {displaystyle 2alpha +eta +2>-1} , рассматривая поведение при r = ∞ {displaystyle r=infty } , получим, что 2 α + 2 < − 1 {displaystyle 2alpha +2<-1} . Регулярность V ( r ) {displaystyle V(r)} для r ≠ 0 {displaystyle r eq 0} требует 2 α + β + 1 = 0 {displaystyle 2alpha +eta +1=0} . В итоге получаем α = − 2 ,   β = 3 {displaystyle alpha =-2, eta =3} .

    Положим ψ ( r ) = sin ⁡ r 3 r 2 {displaystyle psi (r)={frac {sin r^{3}}{r^{2}}}} , тогда потенциал будет равен (отбросив несущественный множитель h 2 / 8 π 2 m {displaystyle {h^{2}}/{8pi ^{2}m}} ):

    V ( r ) = 2 r 2 − 9 r 4 {displaystyle V(r)={frac {2}{r^{2}}}-9r^{4}}

    Собственная функция и потенциальная кривая показаны на рисунке. Кажется, что электрон просто скатится с потенциала и энергия будет принадлежать сплошному спектру, однако существует стационарная орбита с E = 0 {displaystyle E=0} .

    В работе дана следующая интерпретация: такое поведение можно понять, исходя из аналогии с классической механикой (соображения принадлежат Лео Силарду). Движение материальной точки в потенциале V = 2 r 2 − 9 r 4 {displaystyle V={frac {2}{r^{2}}}-9r^{4}} описывается следующим уравнением:

    m 2 ( d r d t ) 2 + V ( r ) = C o n s t {displaystyle {{frac {m}{2}}left({frac {dr}{dt}} ight)^{2}+V(r)=mathrm {Const} }} d r d t = 2 m C o n s t − 4 m 1 r 2 + 18 m r 4 {displaystyle {{frac {dr}{dt}}={sqrt {{frac {2}{m}}mathrm {Const} -{frac {4}{m}}{frac {1}{r^{2}}}+{frac {18}{m}}r^{4}}}}}

    Легко понять, что когда r → ∞ {displaystyle r ightarrow infty } , d r d t → ∞ {displaystyle {frac {dr}{dt}} ightarrow infty } , и тогда асимптотика

    d r d t = 3 2 m r 2 ;               1 r = 3 2 m ( t 0 − t ) ,     {displaystyle {frac {dr}{dt}}={frac {3{sqrt {2}}}{sqrt {m}}}r^{2}; {frac {1}{r}}={frac {3{sqrt {2}}}{sqrt {m}}}left(t_{0}-t ight), } r = m 3 2 ( t 0 − t ) {displaystyle r={frac {sqrt {m}}{3{sqrt {2}}left(t_{0}-t ight)}}}

    то есть, за конечное время t = t 0 {displaystyle t=t_{0}} точка уходит на бесконечность. Cтационарное решение ψ ( r ) {displaystyle psi (r)} означает, что точка снова возвращается из бесконечности, что она оттуда как будто отражается и начинает колебаться. То, что ψ ( r ) {displaystyle psi (r)} при r = ∞ {displaystyle r=infty } стремится к нулю, следует из того, что она скатывается с большой потенциальной горки и обладает огромной скоростью, а значит коротким временем жизни. И поскольку весь колебательный процесс (из r m i n {displaystyle r_{min}} на бесконечность и обратно) периодический, то логично, что эта квантово-механическая задача обладает стационарным решением.

    Второй случай

    Перейдем ко второму примеру, который уже нельзя интерпретировать из таких соображений.

    Для начала, возьмем функцию ψ = sin ⁡ r r {displaystyle psi ={frac {sin r}{r}}} , тогда V = − 1 {displaystyle V=-1} . Это расходящиеся сферические волны, поскольку энергия E = 0 {displaystyle E=0} больше, чем потенциал V = − 1 {displaystyle V=-1} , классическая кинетическая энергия остается положительной. Волновая функция принадлежит непрерывному спектру, интеграл ∫ 0 ∞ 4 π r 2 | ψ ( r ) | 2 d r = 4 π ∫ 0 ∞ sin 2 ⁡ r d r {displaystyle int _{0}^{infty }4pi r^{2}|psi (r)|^{2}dr=4pi int _{0}^{infty }sin ^{2}rdr} расходится. Попробуем поменять волновую функцию таким образом, чтобы квадратичный интеграл сошелся, а потенциал варьировался вблизи −1.

    Рассмотрим следующий анзац:

    ψ = sin ⁡ r r f ( r ) {displaystyle psi ={frac {sin r}{r}}f(r)}

    Если функция f ( r ) {displaystyle f(r)} непрерывна, и при r → ∞ {displaystyle r ightarrow infty } асимптотика равна r α ,     α < − 1 / 2 {displaystyle r^{alpha }, alpha <-1/2} , то интеграл будет конечным. Потенциал при этом будет равен (с исправленной арифметической ошибкой в оригинальной статье):

    V = − 1 + 2 ctg ⁡ r f ′ ( r ) f ( r ) + f ′ ′ ( r ) f ( r ) . {displaystyle V=-1+2operatorname {ctg} r{frac {f^{prime }(r)}{f(r)}}+{frac {f^{prime prime }(r)}{f(r)}}.}

    Для того, чтобы потенциал оставался вблизи −1, и при r → ∞ {displaystyle r ightarrow infty } стремился к −1, мы должны функции ctg ⁡ r f ′ ( r ) f ( r ) ,   f ′ ′ ( r ) f ( r ) {displaystyle operatorname {ctg} r{frac {f^{prime }(r)}{f(r)}}, {frac {f^{prime prime }(r)}{f(r)}}} сделать малыми и при r → ∞ {displaystyle r ightarrow infty } устремить к нулю.

    В первом случае также f ′ ( r ) f ( r ) {displaystyle {frac {f^{prime }(r)}{f(r)}}} должна исчезать для ctg ⁡ r = ∞ {displaystyle operatorname {ctg} r=infty } , а именно для r = 0 , π ,   2 π ,   2 π , … {displaystyle r=0,pi , 2pi , 2pi ,dots } , то есть для sin ⁡ r = 0 {displaystyle sin r=0} . Это случай, когда f ( r ) = ∫ 0 r sin 2 ⁡ r d r = r 2 − 1 4 sin ⁡ 2 r {displaystyle f(r)=int _{0}^{r}sin ^{2}rdr={frac {r}{2}}-{frac {1}{4}}sin 2r} или любая другая функция этого выражения.

    Положим f ( r ) = [ A 2 + ( r 2 − 1 4 sin ⁡ 2 r ) 2 ] − 1 {displaystyle f(r)=[A^{2}+({frac {r}{2}}-{frac {1}{4}}sin 2r)^{2}]^{-1}} , где A {displaystyle A} произвольна (здесь f ( r ) {displaystyle f(r)} при r → ∞ {displaystyle r ightarrow infty } стремится к r α ,     α < − 1 / 2 {displaystyle r^{alpha }, alpha <-1/2} ). Тогда

    ψ = sin ⁡ r r ( A 2 + ( 2 r − sin ⁡ 2 r ) 2 ) . {displaystyle psi ={frac {sin r}{r(A^{2}+(2r-sin 2r)^{2})}}.}

    Выражение для потенциала является громоздким, но из графиков видно, что для r → ∞ {displaystyle r ightarrow infty } потенциал стремится к −1. Кроме того, оказывается, что для любого ε > 0 {displaystyle varepsilon >0} можно выбрать такое A, что потенциал будет находиться между − 1 − ε {displaystyle -1-varepsilon } и − 1 + ε {displaystyle -1+varepsilon } . Можно видеть, что потенциал колеблется с периодом π {displaystyle pi } , а волновая функция — с периодом 2 π {displaystyle 2pi } . Получается, что все отраженные волны от «горбов» такого потенциала находятся в фазе, и функция локализуется в центре, отражаясь от потенциала по механизму, похожему на отражение от брэгговского зеркала.






    Яндекс.Метрика