23.09.2022

Преобразование Боголюбова


В теоретической физике преобразование Боголюбова было найдено в 1958 году Николаем Боголюбовым для нахождения решений теории БКШ в однородной системе . Преобразование Боголюбова часто используется для диагонализации гамильтонианов, тем самым давая стационарные решения уравнения Шрёдингера. Преобразование Боголюбова также важно для понимания эффекта Унру, излучения Хокинга, эффектов спаривания в ядерной физике.

Случай бозонов

Рассмотрим каноническое коммутационное соотношение для операторов рождения и уничтожения бозонов

[ a ^ , a ^ † ] = 1   . {displaystyle left[{hat {a}},{hat {a}}^{dagger } ight]=1~.}

Определим новую пару операторов

b ^ = u a ^ + v a ^ † {displaystyle {hat {b}}=u{hat {a}}+v{hat {a}}^{dagger }} b ^ † = u ∗ a ^ † + v ∗ a ^   , {displaystyle {hat {b}}^{dagger }=u^{*}{hat {a}}^{dagger }+v^{*}{hat {a}}~,}

где второй эрмитово сопряжен с первым.

Преобразование Боголюбова — каноническое преобразование, сопоставляющее операторам a ^ {displaystyle {hat {a}}} и a ^ † {displaystyle {hat {a}}^{dagger }} операторы b ^  и b ^ † {displaystyle {hat {b}}{ ext{ и}}{hat {b}}^{dagger }} . Чтобы найти условия на постоянные u и v, при которых преобразование является каноническим, вычислим коммутатор

[ b ^ , b ^ † ] = [ u a ^ + v a ^ † , u ∗ a ^ † + v ∗ a ^ ] = ⋯ = ( | u | 2 − | v | 2 ) [ a ^ , a ^ † ] . {displaystyle left[{hat {b}},{hat {b}}^{dagger } ight]=left[u{hat {a}}+v{hat {a}}^{dagger },u^{*}{hat {a}}^{dagger }+v^{*}{hat {a}} ight]=cdots =left(|u|^{2}-|v|^{2} ight)left[{hat {a}},{hat {a}}^{dagger } ight].}

Очевидно, что | u | 2 − | v | 2 = 1 {displaystyle ,|u|^{2}-|v|^{2}=1} — условие, при котором преобразование является каноническим. Постоянные u и v можно представить в виде

u = e i θ 1 ch ⁡ r {displaystyle u=e^{i heta _{1}}operatorname {ch} r} v = e i θ 2 sh ⁡ r   . {displaystyle v=e^{i heta _{2}}operatorname {sh} r~.}

Случай фермионов

Для антикоммутатора

{ a ^ , a ^ † } = 1 {displaystyle left{{hat {a}},{hat {a}}^{dagger } ight}=1} ,

такое же преобразование с u и v приводит к

{ b ^ , b ^ † } = ( | u | 2 + | v | 2 ) { a ^ , a ^ † } {displaystyle left{{hat {b}},{hat {b}}^{dagger } ight}=(|u|^{2}+|v|^{2})left{{hat {a}},{hat {a}}^{dagger } ight}}

Чтобы преобразование было каноническим, u и v могут быть представлены в виде

u = e i θ 1 cos ⁡ r {displaystyle u=e^{i heta _{1}}cos r,!} v = e i θ 2 sin ⁡ r . {displaystyle v=e^{i heta _{2}}sin r,!.}





Яндекс.Метрика