Интерполяционные ряды
Интерполяционные ряды вошли в математику в основном благодаря Ньютону. Первые их примеры — бесконечный интерполяционный ряд Ньютона и ряд Тейлора. В XVIII в. бесконечными интерполяционными рядами как инструментом математического анализа широко пользовались Эйлер, Лагранж и Лаплас, в XIX в. — Гаусс, Абель и Коши. В конце XIX в. обобщение задач интерполирования послужило одним из источников проблемы моментов в работах Чебышёва, Стилтьеса и Маркова.
Построение интерполяционного ряда, или интерполяционный процесс, определяется последовательностью линейных непрерывных функционалов Φ i ( i = 0 , 1 , 2 , … ) {displaystyle {Phi _{i}}~(i=0,1,2,ldots )} в линейном топологическом пространстве. При этом имеется также такая последовательность функций φ j ( j = 0 , 1 , 2 , … ) {displaystyle extstyle {varphi _{j}}~(j=0,1,2,ldots )} , что
Φ i [ φ j ] = δ i j , {displaystyle Phi _{i}[varphi _{j}]=delta _{ij},}где δ i j {displaystyle extstyle delta _{ij}} — символ Кронекера ( δ i j = 1 {displaystyle extstyle delta _{ij}=1} , если i = j {displaystyle extstyle i=j} ; иначе δ i j = 0 {displaystyle extstyle delta _{ij}=0} ). Последовательность φ j ( x ) {displaystyle extstyle {varphi _{j}(x)}} называется базисом фундаментальных полиномов интерполяционного процесса. Интерполяционным рядом функции f ( x ) {displaystyle extstyle f(x)} называется формальное выражение
∑ i = k ∞ Φ k [ f ] φ k ( x ) . {displaystyle sum _{i=k}^{infty }Phi _{k}[f]varphi _{k}(x).}Если этот ряд сходится, то его сумма S ( x ) {displaystyle extstyle S(x)} удовлетворяет равенствам
Φ k [ S ( x ) ] = Φ k [ f ( x ) ] {displaystyle extstyle Phi _{k}[S(x)]=Phi _{k}[f(x)]}при k = 0 , 1 , 2 , … {displaystyle k=0,1,2,ldots } независимо от того, равна сумма S ( x ) {displaystyle extstyle S(x)} исходной функции f ( x ) {displaystyle extstyle f(x)} или нет. Совокупность этих равенств выражает обобщение обычной задачи интерполирования функции по её значениям в последовательности точек.
