05.07.2022

Модулярная решётка


Модулярная решётка (дедекиндова решётка) — решётка, в которой каждая пара элементов a , b ∈ L {displaystyle a,bin L} модулярна, то есть справедлив закон модулярности — квазитождество:

∀ x ∈ L : x ⩽ b ⇒ x ∨ ( a ∧ b ) = ( x ∨ a ) ∧ b {displaystyle forall xin L:xleqslant bRightarrow xvee (awedge b)=(xvee a)wedge b} .

Важнейший пример модулярной решётки — решётка подпространств векторного пространства; также модулярны решётка нормальных подгрупп группы, решётка идеалов кольца.

Любая дистрибутивная решётка является модулярной, обратное неверно: ромб (диамант) — пример модулярной решётки, которая не является дистрибутивной.

Наименьшая немодулярная решётка — пятиэлементный пентагон N 5 {displaystyle N_{5}} , любая немодулярная решётка содержит его в качестве подрешётки.

В модулярных решётках справедлива теорема об изоморфизмах интервалов: для любых двух элементов модулярной решётки a {displaystyle a} и b {displaystyle b} интервалы [ a ∧ b , b ] {displaystyle [awedge b,b]} и [ a , a ∨ b ] {displaystyle [a,avee b]} изоморфны, прямое отображение: ϕ ( x ) = x ∨ a {displaystyle phi (x)=xvee a} , обратное — ψ ( y ) = y ∧ b {displaystyle psi (y)=ywedge b} .

Немодулярная решётка может содержать элементы, удовлетворяющие закону модулярности. Элемент a {displaystyle a} называется левомодулярным, если для любого элемента b {displaystyle b} пара a , b {displaystyle a,b} модулярна.

Элемент b {displaystyle b} называется правомодулярным, если для любого элемента a {displaystyle a} пара a , b {displaystyle a,b} модулярна.

Закон модулярности и некоторые его следствия впервые установлены Рихардом Дедекиндом в 1894 году.






Яндекс.Метрика