Полупространство

Полупространство, ограниченное гиперплоскостью α, — это геометрическая фигура в пространстве, для которой выполняется следующее:

Эта фигура включает в себя плоскость α, но не сводится к ней.

Любой отрезок, ограниченный произвольными точками этой фигуры A и B, не принадлежащими α, не имеет пересечений с плоскостью α.

Любой отрезок, ограниченный произвольными точками этой фигуры A и B, где А принадлежит α, а B — нет, имеет пересечение с плоскостью α.

Формальное определение

Пусть V {displaystyle V} будет векторным пространством, λ : V → R {displaystyle lambda colon V o mathbb {R} } линейной формой, тогда каждое число β ∈ R {displaystyle eta in mathbb {R} } определяет замкнутое полупространство

{ v ∈ V ∣ λ ( v ) ≥ β } {displaystyle {vin Vmid lambda (v)geq eta }}

Если неравенство строгое, то полупространство

{ v ∈ V ∣ λ ( v ) > β } {displaystyle {vin Vmid lambda (v)>eta }}

называется открытым.