15.01.2022

Скалярная матрица


Скалярная матрица — диагональная матрица, элементы главной диагонали которой равны. Частным случаем скалярной матрицы является единичная матрица.

A n = ( a 0 ⋯ 0 0 0 a ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ a 0 0 0 ⋯ 0 a ) {displaystyle A_{n}={egin{pmatrix}a&0&cdots &0&0&a&cdots &0&0vdots &vdots &ddots &vdots &vdots &0&cdots &a&0&0&cdots &0&aend{pmatrix}}}

Свойства

  • Скалярная матрица — это произведение скаляра и единичной матрицы.
a ⋅ E n = A n {displaystyle acdot E_{n}=A_{n}}
  • Множество скалярных матриц n × n {displaystyle n imes n} — это в точности те матрицы, которые коммутируют со всеми матрицами n × n {displaystyle n imes n} , то есть для любой скалярной матрицы S {displaystyle S} и матрицы A {displaystyle A} того же размера A S = S A . {displaystyle AS=SA.}
  • det ⁡ A n = a n {displaystyle operatorname {det} A_{n}=a^{n}}
  • rang ⁡ A n = { n , a ≠ 0 0 , a = 0. {displaystyle operatorname {rang} A_{n}={egin{cases}n,&a ot =0,&a=0.end{cases}}}
  • A n − 1 = 1 a E n {displaystyle A_{n}^{-1}={frac {1}{a}}E_{n}} , где E n {displaystyle E_{n}} - единичная матрица
  • Скалярные матрицы образуют поле, изоморфное полю, которому принадлежат элементы матрицы (например, действительных или комплексных чисел).





Яндекс.Метрика