21.12.2021

Тригонометрический многочлен


Тригонометрический многочлен — функция вещественного аргумента, которая является конечной тригонометрической суммой, то есть функция, представленная в виде:

f ( x ) = a 0 2 + ∑ k = 1 n ( a k cos ⁡ ( k x ) + b k sin ⁡ ( k x ) ) {displaystyle f(x)={frac {a_{0}}{2}}+sum _{k=1}^{n}(a_{k}cos(kx)+b_{k}sin(kx))} ,

где аргумент и коэффициенты x , a k , b k ∈ R {displaystyle x,a_{k},b_{k}in mathbb {R} } , а k = 1 , 2 , . . . , n {displaystyle k=1,2,...,n} .

В комплексной форме согласно формуле Эйлера такой многочлен записывается следующим образом:

f ( x ) = ∑ k = − n k = n c k e i k x {displaystyle f(x)=sum _{k=-n}^{k=n}c_{k}e^{ikx}} ,

где c 0 = a 0 2 , c k = ( a k − i b k ) 2 , c − k = ( a k + i b k ) 2 {displaystyle c_{0}={frac {a_{0}}{2}},c_{k}={frac {(a_{k}-ib_{k})}{2}},c_{-k}={frac {(a_{k}+ib_{k})}{2}}} .

Эта функция бесконечно дифференцируема и 2 π {displaystyle 2pi } -периодична — непрерывна на единичном круге.

Тригонометрические многочлены являются важнейшим средством приближения функций, используются для интерполяции и решения дифференциальных уравнений.

Согласно теореме Вейерштрасса для любой непрерывной на круге функции существует последовательность тригонометрических многочленов, которая к ней равномерно сходится.

Тригонометрический многочлен является частичной суммой ряда Фурье. Согласно теореме Фейера последовательность арифметических средних частичных сумм ряда Фурье равномерно сходится к непрерывной на круге функции. Это даёт простой конструктивный метод построения равномерно сходящейся последовательности тригонометрических многочленов.






Яндекс.Метрика