Основные понятия и элементы математического программирования разработки пластов

Экономико-математическое моделирование основано на использовании специальных прикладных математических методов оптимизации.

Специальная математическая дисциплина — теоретическая основа решения задач управления, планирования и проектирования — названа математическим программированием. Термин «математическое программирование» нельзя признать удачным. Как отметили Е.Г. Гольштейн, С.И. Зуховицкий и другие, более удачным названием совокупности рассматриваемых вопросов раздела прикладной математики было бы математическое планирование или методы решения условных экстремальных задач.

Математические модели, решаемые методами математического программирования, содержат следующие основные элементы и понятия:

- переменные — величины, оптимальное значение которых требуется определить в процессе исследования модели. Такие переменные часто называются также оптимизируемыми величинами;

- критерий оптимальности — показатель, экстремальное значение которого (минимум или максимум) определяет оптимальное значение интересующих нас переменных в модели;

- целевая функция — функция, связывающая критерий оптимальности (показатель эффективности) с переменными и параметрами. В процессе исследования модели отыскиваются такие значения оптимизируемых величин, которые обращали бы целевую функцию в минимум или максимум;

- ограничения — область возможных значений оптимизируемых величин. Ограничения задаются в виде уравнений или неравенств.

Задачи проектирования, управления и планирования обычно сводятся к выбору некоторой системы параметров и некоторой системы функций, именуемых характеристиками. Для постановки задачи математического программирования необходимо сформулировать цель управления и указать ограничения на выбор параметров управления, обусловленные особенностями управляемого процесса. Необходимо выбрать совокупность переменных или оптимизируемых величин, обеспечивающих оптимальное количество процесса управления в рамках сформулированных ограничений.

Общая формулировка задач математического программирования может быть представлена следующим образом.

Требуется найти значения n переменных х1, х2, ..., хn, которые удовлетворяют m уравнениям или неравенствам:

и максимизируют (минимизируют) функцию

Условия (4.1) — ограничения, а (4.2) — целевая функция. Предполагается, что функция qi (x1, x2, ..., xn) известна bi — заданные константы.

Обычно некоторые или все переменные удовлетворяют положительному условию. Кроме того, в качестве ограничений может фигурировать условие, по которому часть или все переменные могут принимать лишь некоторые дискретные значения.

Если в (4.1) и (4.2)

где аij и cj — известные константы, то задача называется линейной при условии, что нет других ограничений, исключая разве требование неотрицательности всех или части переменных.

Таким образом, задача линейного программирования состоит в отыскании неотрицательных значений n переменных xj, удовлетворяющих m ограничениям

и максимизирующих (минимизирующих) линейную функцию

Всякую другую задачу математического программирования в формулировках (4.1) и (4.2), а также (4.3) и (4.4), но при целочисленных переменных, называют нелинейной.

Из класса задач нелинейного программирования наиболее основательно изучены задачи типа

Нас интересует в основном случай, когда функция (4.8) может быть представлена в сепарабельной форме

Основные понятия и элементы математического программирования разработки пластов

Задачи с нелинейными ограничениями решаются труднее, чем с линейными. В этом аспекте имеются некоторые попытки в случае, когда ограничения представлены в следующей сепарабельной форме:

Имеется класс задач с нелинейными ограничениями, называемый классическими задачами оптимизации:

при условии, что m