24.08.2021

Теорема о разрезании квадрата на равновеликие треугольники


Теорема о разрезании квадрата на равновеликие треугольники гласит, что квадрат невозможно разрезать на нечётное число треугольников одинаковой площади.

Теорема знаменита своим неожиданным доказательством, использующим 2-адическую норму.

История

Задача была поставлена Фредом Ричманом в «American Mathematical Monthly» в 1965 году и решена Паулем Монски в 1970 году.

О доказательстве

Используя 2-адические числа, строится определённая раскраска точек единичного квадрата в три цвета.

Главные свойства раскраски состоят в следующем:

  • Площадь любого треугольника с вершинами разных цветов не может быть выражена дробью с нечётными числителем и знаменателем.
    • В частности, если бы существовало разбиение квадрата на нечётное число равновеликих треугольников, то ни один из треугольников не имел бы вершин всех трёх цветов.
  • Любая прямая окрашена ровно в два цвета.
  • Это и некоторые другие свойства данной раскраски приводят к противоречию с леммой Шпернера.

    Вариации и обобщения

    • N {displaystyle N} -мерный куб может быть разбит на симплексы одинакового объема, только если количество симплексов кратно N ! {displaystyle N!} .
    • Из доказательства теоремы также следует существование четырёхугольников, не допускающих разрезания на равновеликие треугольники.
    • Для целого числа n ⩾ 5 {displaystyle ngeqslant 5} , правильный n {displaystyle n} -угольник допускает разрезание на m {displaystyle m} равновеликих треугольников тогда и только тогда, когда m {displaystyle m} делится на n {displaystyle n} .
    • Никакой зоногон не может быть разрезан на нечётное количество равных по площади треугольников. Этот факт был доказан тем же Паулем Монски после основной теоремы.





    Яндекс.Метрика