20.07.2021

Праймориал


Праймориал, примориал (англ. Primorial) — в теории чисел функция над рядом натуральных чисел, схожая с функцией факториала, с разницей в том, что праймориал является последовательным произведением простых чисел, меньших или равных данному, в то время как факториал является последовательным произведением всех натуральных чисел, меньших или равных данному.

Термин «праймориал» ввёл в научный оборот американский инженер и математик Харви Дабнер.

Определение для простых чисел

Для n-го простого числа pn праймориал pn# определён как произведение первых n простых чисел:

p n # = ∏ k = 1 n p k , {displaystyle p_{n}#=prod _{k=1}^{n}p_{k},}

где pkk-е простое число.

Например, p5# обозначает произведение первых 5 простых чисел:

p 5 # = 2 × 3 × 5 × 7 × 11 = 2310. {displaystyle p_{5}#=2 imes 3 imes 5 imes 7 imes 11=2310.}

Таким образом, первые шесть праймориалов:

1, 2, 6, 30, 210, 2310 (последовательность A002110 в OEIS, также включает p0# = 1 как пустое произведение).

Асимптотически праймориалы pn# растут в соответствии с

p n # = e [ 1 + o ( 1 ) ] n log ⁡ n , {displaystyle p_{n}#=e^{[1+o(1)]nlog n},}

где o ( ⋅ ) {displaystyle o(cdot )} является нотацией «o» малого.

Определение для натуральных чисел

В общем случае для целого положительного числа n праймориал n# может быть определён как произведение простых чисел, меньших или равных n:

n # = ∏ i = 1 π ( n ) p i = p π ( n ) # , {displaystyle n#=prod _{i=1}^{pi (n)}p_{i}=p_{pi (n)}#,}

где π ( n ) {displaystyle pi (n)} является функцией распределения простых чисел (последовательность A000720 в OEIS), дающая количество простых чисел ≤ n, что эквивалентно

n # = { 1 при  n = 1 , n × ( ( n − 1 ) # ) при простом  n > 1 , ( n − 1 ) # при составном  n > 1. {displaystyle n#={egin{cases}1&{ ext{при }}n=1,n imes ((n-1)#)&{ ext{при простом }}n>1,(n-1)#&{ ext{при составном }}n>1.end{cases}}}

Например, 12# представляет собой произведение простых чисел, каждое из которых ≤ 12:

12 # = 2 × 3 × 5 × 7 × 11 = 2310. {displaystyle 12#=2 imes 3 imes 5 imes 7 imes 11=2310.}

Таким образом, π ( 12 ) = 5 {displaystyle pi (12)=5} может быть вычислено как

12 # = p π ( 12 ) # = p 5 # = 2310. {displaystyle 12#=p_{pi (12)}#=p_{5}#=2310.}

Рассмотрим первые 12 праймориалов:

1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310.

Мы видим, что для составных чисел каждый член данной последовательности просто дублирует предыдущий. В приведенном выше примере мы имеем, что 12# = p5# = 11#, поскольку 12 является составным числом.

Натуральный логарифм n# — это первая функция Чебышева, записанная в виде θ ( n ) {displaystyle heta (n)} или ϑ ( n ) {displaystyle vartheta (n)} , что приближается к линейной n для больших значений n.

Праймориалы n# растут в соответствии с

ln ⁡ ( n # ) ∼ n . {displaystyle ln(n#)sim n.}

Свойства и приложения

Праймориалы играют важную роль в поиске простых чисел в арифметических прогрессиях из простых чисел. Например, сложение чисел 2236133941 + 23# даёт в результате простое число, начинающее последовательность из тринадцати простых чисел, которые можно получить, последовательно прибавляя 23#, и заканчивающуюся числом 5136341251. 23# является также общей разностью в арифметических прогрессиях из пятнадцати и шестнадцати простых чисел.

Каждое многосоставное число можно представить в виде произведения праймориалов (например, 360 = 2 · 6 · 30).

Все праймориалы являются бесквадратными числами, и каждый из них имеет простые делители любого числа меньшего, чем праймориал. Для каждого праймориала n отношение ϕ ( n ) / n {displaystyle phi (n)/n} меньше, чем для любого целого числа, где ϕ {displaystyle phi } является функцией Эйлера.

Каждый праймориал является слабо тотиентным числом.

Аппроксимация

Дзета-функция Римана для положительных чисел, больших единицы, может быть выражена с использованием праймориала и функции Жордана J k ( n ) {displaystyle J_{k}(n)} :

ζ ( k ) = 2 k 2 k − 1 + ∑ r = 2 ∞ ( p r − 1 # ) k J k ( p r # ) , k = 2 , 3 , … {displaystyle zeta (k)={frac {2^{k}}{2^{k}-1}}+sum _{r=2}^{infty }{frac {(p_{r-1}#)^{k}}{J_{k}(p_{r}#)}},quad k=2,3,dots }

Таблица значений

Композиториал

Композиториал числа n в отличие от праймориала является произведением составных чисел, меньших, чем n. Композиториал равен отношению факториала и праймориала числа: n ! / n # {displaystyle n!/n#} . Первые пятнадцать композиториалов (исключая повторяющиеся значения) равны 1, 4, 24, 192, 1728, 17280, 207360, 2903040, 43545600, 696729600, 12541132800, 250822656000, 5267275776000, 115880067072000.






Яндекс.Метрика