25.06.2021

Теорема де Брёйна — Эрдёша


Теорема де Брёйна — Эрдёша — один из важных результатов в геометрии инцидентности, устанавливает точную нижнюю оценку на число прямых, определённых n {displaystyle n} точками на проективной плоскости. По двойственности из этой теоремы следует ограничение на число пересечений конфигурации прямых.

История

Установлена Николасом де Брёйном и Палом Эрдёшем в 1948 году.

Формулировка

Пусть задан набор P {displaystyle P} из n {displaystyle n} точек на проективной плоскости, из которых не все лежат на одной прямой. Пусть t {displaystyle t} это число всех прямых, проходящих через пары точек из P {displaystyle P} : Тогда t ⩾ n {displaystyle tgeqslant n} . Более того, если t = n {displaystyle t=n} , то любые две прямые пересекаются в точке из P {displaystyle P} .

Доказательство

Стандартное доказательство ведётся по индукции. Теорема определённо верна для трёх точек, не лежащих на одной прямой. Пусть n > 3 {displaystyle n>3} , утверждение верно для n − 1 {displaystyle n-1} и P {displaystyle P} — множество из n {displaystyle n} точек, не все из которых лежат на одной прямой. По теореме Сильвестра одна из этих прямых проходит ровно через две точки из P {displaystyle P} . Обозначим эти две точки a {displaystyle a} и b {displaystyle b} .

Если при удалении точки a {displaystyle a} все оставшиеся точки будут на одной прямой, то P {displaystyle P} образует пучок из P {displaystyle P} прямых ( n − 1 {displaystyle n-1} простых прямых проходят через P {displaystyle P} , плюс одна прямая, проходящая через остальные точки). В противном случае удаление a {displaystyle a} образует множество P {displaystyle P} из n − 1 {displaystyle n-1} неколлинеарной точки. По предположению индукции через P {displaystyle P} проходят n − 1 {displaystyle n-1} прямые, что по меньшей мере на единицу меньше числа прямых, проходящих через точки множества P {displaystyle P} .






Яндекс.Метрика