13.06.2021

Банахова алгебра


Банаховой алгеброй над комплексным или действительным полем называется ассоциативная алгебра, являющаяся при этом банаховым пространством. При этом умножение в ней должно быть согласовано с нормой:

∀ x , y ∈ A , ‖ x y ‖   ≤ ‖ x ‖ ‖ y ‖ {displaystyle forall x,yin A,|x,y| leq |x|,|y|} .

Это свойство требуется для непрерывности операции умножения относительно нормы.

Банахова алгебра называется унитальной или банаховой алгеброй с единицей, если она обладает единицей (то есть таким элементом 1 {displaystyle mathbf {1} } , что для всех x ∈ A {displaystyle xin A} справедливо x 1 = 1 x = x {displaystyle xmathbf {1} =mathbf {1} x=x} ). При этом обычно требуют, чтобы норма единицы была равна 1. Если единица существует, то она единственна. Всякую банахову алгебру A {displaystyle A} можно изометрически вложить в соответствующую ей унитальную банахову алгебру A e {displaystyle A_{e}} в качестве замкнутого двустороннего идеала.

Банахова алгебра называется коммутативной, если операция умножения в ней коммутативна.

Примеры

  • Поля комплексных чисел или действительных чисел — C {displaystyle mathbb {C} } и R {displaystyle mathbb {R} } относительно стандартных операций сложения и умножения. Это унитальные коммутативные алгебры.
  • Алгебры комплексных или действительных матриц относительно матричного умножения и субмультипликативной матричной нормы.
  • Алгебра кватернионов является действительной алгеброй с нормой — модулем.
  • C ( Ω ) {displaystyle C(Omega )} — алгебра непрерывных функций на компакте относительно поточечного умножения относительно sup-нормы. Более общий пример — C 0 ( Ω ) {displaystyle C_{0}(Omega )} — пространство исчезающих на бесконечности комплекснозначных функций, где Ω {displaystyle Omega } — локально компактное пространство.
  • Алгебра ограниченных операторов, действующих в банаховом пространстве, относительно операторной нормы и композиции в качестве умножения. Множество компактных операторов относительно тех же операций является замкнутым идеалом в этой алгебре.
  • Если G {displaystyle G} — локально компактная хаусдорфова топологическая группа с мерой Хаара μ {displaystyle mu } , то банахово пространство L 1 ( G ) {displaystyle L_{1}(G)} интегрируемых относительно меры μ {displaystyle mu } комплекснозначных функций на G {displaystyle G} является банаховой алгеброй относительно умножения-свёртки, определяемой по формуле
( x y ) ( g ) = ∫ G x ( h ) y ( h − 1 g ) d μ ( h ) , g ∈ G {displaystyle (xy)(g)=int _{G}x(h)y(h^{-1}g),mathrm {d} mu (h),;gin G} .
  • L 1 ( R ) {displaystyle L_{1}(mathbb {R} )} — алгебра суммируемых на прямой функций со сверткой в качестве умножения. Это частный случай предыдущего примера.
  • C*-алгебра — алгебра с *-инволюцией, согласованной с нормой: ∀ a   | | a ∗ a | | = | | a | | 2 {displaystyle forall a ||a^{*}a||=||a||^{2}}

Свойства

Некоторые элементарные функции можно при помощи степенных рядов определить для элементов банаховой алгебры. В частности, можно определить экспоненту элемента банаховой алгебры, тригонометрические функции, и, в общем случае, любую целую функцию. Для элементов банаховой алгебры остаётся справедливой формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии (ряд Неймана).

Множество обратимых элементов I n v ( A ) {displaystyle mathrm {Inv} (A)} алгебры A {displaystyle A} является открытым множеством. При этом отображение I n v {displaystyle mathrm {Inv} } , сопоставляющее каждому обратимому элементу обратный, является гомеоморфизмом. Таким образом, I n v ( A ) {displaystyle mathrm {Inv} (A)} — топологическая группа.

В унитальной алгебре единица не может быть коммутатором: x y − y x ≠ 1 {displaystyle xy-yx eq mathbf {1} }   для любых x, yA. Отсюда следует, что λ 1 ,   λ ≠ 0 {displaystyle lambda mathbf {1} , lambda eq 0} также не является коммутатором.

Справедлива теорема Гельфанда-Мазура: каждая унитальная комплексная банахова алгебра, в которой все ненулевые элементы обратимы, изоморфна C {displaystyle mathbb {C} } .

Спектральная теория

В унитальных банаховых алгебрах вводится понятие спектра, которое расширяет понятие спектра оператора на более общий класс объектов.

Элемент a ∈ A {displaystyle ain A} алгебры A {displaystyle A} называется обратимым, если найдется такой элемент a − 1 ∈ A {displaystyle a^{-1}in A} , что a a − 1 = a − 1 a = 1 {displaystyle aa^{-1}=a^{-1}a=mathbf {1} } . Спектром σ ( a ) {displaystyle sigma (a)} элемента a {displaystyle a} называется множество таких λ ∈ C , {displaystyle lambda in mathbb {C} ,} что элемент a − λ 1 {displaystyle a-lambda mathbf {1} } необратим. Спектр всякого элемента унитальной комплексной банаховой алгебры — непустой компакт. С другой стороны, для любого компакта K ⊂ C {displaystyle Ksubset mathbb {C} } спектр элемента w {displaystyle w} из алгебры C ( K ) {displaystyle C(K)} , определяемого по формуле w ( z ) = z {displaystyle w(z)=z} , совпадает с K {displaystyle K} , поэтому других ограничений на спектр элемента в произвольной банаховой алгебре нет.

Спектральным радиусом r ( x ) {displaystyle mathrm {r} (x)} элемента x ∈ A {displaystyle xin A} называется величина

r ( x ) = sup { | λ | : λ ∈ σ ( x ) } {displaystyle mathrm {r} (x)=sup{|lambda |:lambda in sigma (x)}} .

Справедлива формула Бёрлинга-Гельфанда для спектрального радиуса:

r ( x ) = lim n → ∞ ‖ x n ‖ 1 / n . {displaystyle mathrm {r} (x)=lim _{n o infty }|x^{n}|^{1/n}.}

Резольвентным множеством элемента a ∈ A {displaystyle ain A} называется множество ρ ( a ) = C ∖ σ ( a ) {displaystyle ho (a)=mathbb {C} setminus sigma (a)} . Резольвентное множество элемента банаховой алгебры всегда открыто. Резольвентой элемента a ∈ A {displaystyle ain A} называется функция комплексной переменной R a : ρ ( a ) → A {displaystyle R_{a}colon ho (a) o A} , определяемая формулой R a ( λ ) = ( λ 1 − a ) − 1 {displaystyle R_{a}(lambda )=(lambda mathbf {1} -a)^{-1}} . Резольвента элемента банаховой алгебры является голоморфной функцией.

Если f {displaystyle f} — голоморфная в окрестности D ⊂ C {displaystyle Dsubset mathbb {C} } спектра σ ( a ) {displaystyle sigma (a)} функция, можно определить f ( a ) ∈ A {displaystyle f(a)in A} по формуле

f ( a ) = 1 2 π i ∫ γ f ( λ ) R a ( λ ) d λ {displaystyle f(a)={frac {1}{2pi i}}int _{gamma }f(lambda )R_{a}(lambda ),mathrm {d} lambda } ,

где γ {displaystyle gamma } — спрямляемый жорданов контур, лежащий в D {displaystyle D} , содержащий спектр элемента x {displaystyle x} и ориентированный положительно, а R a {displaystyle R_{a}} — резольвента элемента a {displaystyle a} . В частности, при помощи этой формулы можно определить экспоненту элемента из банаховой алгебры.

Идеалы и характеры

Пусть A — унитальная коммутативная банахова алгебра над полем комплексных чисел. Характером χ алгебры A называется ненулевой линейный функционал, обладающий свойством мультипликативности: для любых a, bA справедливо χ(ab) = χ(a)χ(b) и χ(1) = 1. То есть характер — это ненулевой гомоморфизм алгебр A и C {displaystyle mathbb {C} } . Можно проверить, что всякий характер в банаховой алгебре непрерывен и его норма равна 1.

Ядро характера представляет собой максимальный идеал в A. Если m {displaystyle {mathfrak {m}}} — максимальный идеал, то факторалгебра A / m {displaystyle A/{mathfrak {m}}} является полем и банаховой алгеброй, тогда, по теореме Гельфанда-Мазура, она изоморфна C {displaystyle mathbb {C} } . Поэтому каждому максимальному идеалу m {displaystyle {mathfrak {m}}} можно поставить в соответствие единственный характер χ такой, что ker χ = m {displaystyle {mathfrak {m}}} . Этот характер определяется как композиция факторотображения и изоморфизма A / m {displaystyle A/{mathfrak {m}}} в C {displaystyle mathbb {C} } . Таким образом между множеством характеров и множеством максимальных идеалов установлена биекция.

Множество всех характеров называется пространством максимальных идеалов или спектром алгебры A и обозначается Spec A. Это множество можно наделить топологией, унаследованной от слабой* топологии (топологии поточечной сходимости) в сопряженном пространстве A*. Из теоремы Банаха-Алаоглу и замкнутости Spec A следует, что Spec A — компактное хаусдорфово топологическое пространство.

Преобразованием Гельфанда элемента a {displaystyle a} алгебры A называется непрерывная функция a ^ : S p e c A → C {displaystyle {hat {a}}colon mathrm {Spec} ,A o mathbb {C} } , определяемая по формуле a ^ ( χ ) = χ ( a ) {displaystyle {hat {a}}(chi )=chi (a)} для всех характеров χ. Преобразование Гельфанда осуществляет сжимающий гомоморфизм алгебры A в алгебру C(Spec A) непрерывных функций на компакте.

Радикалом алгебры A называется пересечение всех её максимальных идеалов. Если радикал состоит только из нуля, алгебра A называется полупростой. Ядро преобразования Гельфанда совпадает с радикалом алгебры, поэтому преобразование Гельфанда инъективно тогда и только тогда, когда алгебра A полупроста. Таким образом, всякая полупростая коммутативная банахова алгебра с единицей совпадает с точностью до изоморфизма с некоторой алгеброй функций, непрерывных на компакте — с образом преобразования Гельфанда.






Яндекс.Метрика