03.06.2021

Конхоида Слюза


Конхоиды Слюза — это семейство плоских кривых, которые изучал в 1662 году Рене-Франсуа Валтер, барон де Слюз.

Кривые задаются в полярных координатах уравнением

r = sec ⁡ θ + a cos ⁡ θ {displaystyle r=sec heta +acos heta } .

В декартовой системе кривые удовлетворяют уравнению

( x − 1 ) ( x 2 + y 2 ) = a x 2 {displaystyle (x-1)(x^{2}+y^{2})=ax^{2}}

за исключением случая a = 0, в котором кривая имеет изолированную точку (0,0), которой нет в полярном представлении кривой.

Кривые являются рациональными, круговыми, кубическими плоскими кривыми.

Выражения имеют асимптоту x=1 (для a≠0). Точка, наиболее удалённая от асимптоты — (1+a,0). (0,0) является точкой самопересечения для a<−1.

Для a ≥ − 1 {displaystyle ageq -1} область между кривой и асимптотой имеет площадь

| a | ( 1 + a / 4 ) π {displaystyle |a|(1+a/4)pi }

Для a < − 1 {displaystyle a<-1} площадь равна

( 1 − a 2 ) − ( a + 1 ) − a ( 2 + a 2 ) arcsin ⁡ 1 − a . {displaystyle left(1-{frac {a}{2}} ight){sqrt {-(a+1)}}-aleft(2+{frac {a}{2}} ight)arcsin {frac {1}{sqrt {-a}}}.}

Если a < − 1 {displaystyle a<-1} , кривая имеет петлю. Площадь петли равна

( 2 + a 2 ) a arccos ⁡ 1 − a + ( 1 − a 2 ) − ( a + 1 ) . {displaystyle left(2+{frac {a}{2}} ight)aarccos {frac {1}{sqrt {-a}}}+left(1-{frac {a}{2}} ight){sqrt {-(a+1)}}.}

Четыре кривые из семейства имеют собственные имена:

a = 0, прямая (асимптота для остальных кривых семейства) a = −1, циссоида Диокла a = −2, правая строфоида a = −4, трисектриса Маклорена





Яндекс.Метрика