31.05.2021

4-тензор


4-тензоры, четырёхтензоры — класс математических объектов, используемый для описания некоторых физических полей в релятивистской физике, тензор, определённый на четырёхмерном пространстве-времени.

  • Замечание: в литературе 4-тензоры часто называются просто тензорами, а размерность и природа векторного пространства (многообразия), на котором они заданы в этом случае оговариваются явно или очевидны из контекста.

В общем случае 4-тензор является объектом с набором индексов:

A i 1 i 2 … i n j 1 j 2 … j m , {displaystyle A_{i_{1}i_{2}ldots i_{n}}^{j_{1}j_{2}ldots j_{m}},}

причём каждый из индексов принимает четыре значения (обычно от нуля до трёх или от одного до четырёх, то есть i 1 = 0 , 1 , 2 , 3 , i 2 = 0 , 1 , 2 , 3 {displaystyle i_{1}=0,1,2,3,i_{2}=0,1,2,3} итд.

При смене системы отсчёта компоненты этого объекта преобразуются так:

A i 1 i 2 … i n ′ j 1 j 2 … j m = β j 1 k 1 β j 2 k 2 … β j m k m α i 1 l 1 α i 2 l 2 … α i n l n A l 1 l 2 … l n k 1 k 2 … k m {displaystyle A_{i_{1}i_{2}ldots i_{n}}^{prime j_{1}j_{2}ldots j_{m}}=eta _{j_{1}k_{1}}eta _{j_{2}k_{2}}ldots eta _{j_{m}k_{m}}alpha _{i_{1}l_{1}}alpha _{i_{2}l_{2}}ldots alpha _{i_{n}l_{n}}A_{l_{1}l_{2}ldots l_{n}}^{k_{1}k_{2}ldots k_{m}}} ,

где α i j {displaystyle alpha _{ij}} — матрица поворота в четырёхмерном пространстве-времени (матрица группы Лоренца), а β i j {displaystyle eta _{ij}} — обратная ей.

Верхние индексы называются контравариантными, а нижние — ковариантными. Суммарное число индексов задаёт ранг тензора. 4-вектор является 4-тензором первого ранга.

Обычно в физике тензоры одинаковой природы с разным числом ковариантных и контравариантных индексов считаются различными представлениями одного и того же объекта. Опускание или поднимание индекса проводится с помощью метрического тензора g ^ {displaystyle {hat {g}}} , например для 4-тензора второго ранга

A i j = g j k A k i {displaystyle A^{ij}=g^{jk}A_{k}^{i}}

Алгебра внешнего произведения позволяет также вводить для антисимметричных тензоров родственные им дуальные тензоры.

Преимущества четырёхмерной записи

Уравнения теории относительности, электродинамики, и многих современных фундаментальных теорий, включающих их, особенно удобно записывать, используя 4-векторы и 4-тензоры. Главным преимуществом такой записи есть то, что в этой форме уравнения автоматически лоренц-инвариантны, то есть не изменяются при переходе от одной инерциальной системы координат к другой.

Примеры

4-тензоры в ОТО

  • метрический тензор (играет определённую техническую роль и в отсутствии гравитационных полей, то есть часто применяется и за рамками ОТО, однако в этом случае он - обычно - имеет очень частный вид лоренцевой метрики).
  • тензор кривизны
  • тензор Риччи
  • тензор энергии-импульса (достаточно широко применим и вне ОТО).

4-тензор электромагнитного поля

Соответствующий 4-тензор существует также и для описания электромагнитного поля. Это 4-тензор второго ранга. При его использовании основные уравнения для электромагнитного поля: уравнение Максвелла и уравнение движения заряженной частицы в поле имеют особенно простую и элегантную форму.

Определение через 4-потенциал

4-тензор определяется через производные от 4-потенциала:

F i k = ∂ A k ∂ x i − ∂ A i ∂ x k {displaystyle F_{ik}={frac {partial A_{k}}{partial x^{i}}}-{frac {partial A_{i}}{partial x^{k}}}} .

Определение через трёхмерные векторы

4-тензор определяется через обычные трёхмерные составные векторов напряжённости следующим образом:

F i k = ( 0 E x / c E y / c E z / c − E x / c 0 − B z B y − E y / c B z 0 − B x − E z / c − B y B x 0 ) {displaystyle F_{ik}=left({egin{matrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0end{matrix}} ight)} F i k = ( 0 − E x / c − E y / c − E z / c E x / c 0 − B z B y E y / c B z 0 − B x E z / c − B y B x 0 ) {displaystyle F^{ik}=left({egin{matrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/cE_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0end{matrix}} ight)}

Первая форма — это ковариантный тензор, а вторая форма — это контравариантный тензор.

Сила Лоренца

Записанное в 4-векторной форме уравнение движения заряженной частицы в электромагнитном поле приобретает вид

m c d u i d s = q c F i k u k {displaystyle mc{frac {du^{i}}{ds}}={frac {q}{c}}F^{ik}u_{k}} ,

где u k {displaystyle u^{k}} — 4-скорость, q — электрический заряд частицы, c — скорость света, m — масса. Правая часть этого уравнения — это сила Лоренца.






Яндекс.Метрика