11.05.2021

Мечта второкурсника (математическое тождество)


В математике мечта второкурсника или мечта софомора (англ. sophomore — студент-второкурсник в США) — пара тождеств:

∫ 0 1 x − x d x = ∑ n = 1 ∞ n − n {displaystyle int limits _{0}^{1}x^{-x}dx=sum _{n=1}^{infty }n^{-n}}

∫ 0 1 x x d x = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n − n = − ∑ n = 1 ∞ ( − n ) − n {displaystyle int limits _{0}^{1}x^{x}dx=sum _{n=1}^{infty }(-1)^{n+1}n^{-n}=-sum _{n=1}^{infty }(-n)^{-n}}

История

Тождества открыты в 1697 году Иоганном Бернулли. Числовые значения этих констант составляют приблизительно 1.291285997 и 0.7834305107, соответственно.

Название «мечта второкурсника» появилось позже. Оно является отсылкой к «мечте первокурсника», что в свою очередь означает шуточное неверное тождество (x + y)n = xn + yn. Однако, в отличие от него, мечта второкурсника — пара верных тождеств.

Доказательство

Доказательства этих тождеств полностью аналогичны, поэтому здесь представлено только одно из них.

Вначале, представим x x {displaystyle x^{x}} как:

x x = exp ⁡ ( x log ⁡ x ) = ∑ n = 0 ∞ x n ( log ⁡ x ) n n ! {displaystyle x^{x}=exp(xlog x)=sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{n}(log x)^{n}}{n!}}} .

Тогда

∫ 0 1 x x d x = ∫ 0 1 ∑ n = 0 ∞ x n ( log ⁡ x ) n n ! d x {displaystyle int limits _{0}^{1}x^{x}dx=int limits _{0}^{1}sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{n}(log x)^{n}}{n!}}dx} .

По свойству равномерной сходимости степенных рядов можно поменять местами суммирование и интеграл. Получим:

∫ 0 1 x x d x = ∑ n = 0 ∞ ∫ 0 1 x n ( log ⁡ x ) n n ! d x {displaystyle int limits _{0}^{1}x^{x}dx=sum _{n=0}^{infty }int limits _{0}^{1}{frac {x^{n}(log x)^{n}}{n!}}dx} .

Чтобы получить представленные выше интегралы, заменим переменную x = exp ⁡ ( − u n + 1 ) {displaystyle x=exp left(-{frac {u}{n+1}} ight)} . После этой замены границы интеграла преобразуются в 0 < u < ∞ {displaystyle 0<u<infty } , что даёт нам:

∫ 0 1 x n ( log ⁡ x ) n d x = ( − 1 ) n ( n + 1 ) − ( n + 1 ) = ∫ 0 ∞ u n e − u d u {displaystyle int limits _{0}^{1}x^{n}(log x)^{n}dx=(-1)^{n}(n+1)^{-(n+1)}=int limits _{0}^{infty }u^{n}e^{-u}du} .

По интегральному тождеству Эйлера для Гамма-функции:

∫ 0 ∞ u n e − u d u = n ! {displaystyle int limits _{0}^{infty }u^{n}e^{-u}du=n!} ,

таким образом:

∫ 0 1 x n ( log ⁡ x ) n n ! d x = ( − 1 ) n ( n + 1 ) − ( n + 1 ) {displaystyle int limits _{0}^{1}{frac {x^{n}(log x)^{n}}{n!}}dx=(-1)^{n}(n+1)^{-(n+1)}} .

Просуммировав и изменив индексацию (она начинается с n=1, а не с n=0), получим искомое тождество.

Версии доказательств

Исходное доказательство, данное Бернулли и представленное в современном виде, отличается от приведённого выше в части расчёта интеграла ∫ 0 1 x n ( log x ) n d x {displaystyle int _{0}^{1}x^{n}(log ,x)^{n},dx} , но в остальном идентично за исключением технических деталей. Вместо интегрирования путем подстановки, используя Гамма-функцию (которая на момент доказательства ещё не была известна), Бернулли использовал интегрирование по частям.






Яндекс.Метрика