31.03.2021

Коэффициент динамичности


Коэффициентом динамичности в теории колебаний называют безразмерную скалярную физическую величину, определяемую следующим выражением:

β = A A 0 = 1 ( 1 − ω 2 p 2 ) 2 + 4 n 2 ω 2 p 4 ( 1 ) {displaystyle eta ={frac {A}{A_{0}}}={frac {1}{sqrt {(1-{frac {omega ^{2}}{p^{2}}})^{2}+{frac {4n^{2}omega ^{2}}{p^{4}}}}}}qquad qquad (1)}

где

  • А — амплитуда
  • А0 — равновесная амплитуда, представляющая собой статическую деформацию упругой связи под действием максимальной силы P0
  • ω — частота возмущения
  • p — собственная частота колебаний
  • n — коэффициент, характеризующий силы вязкого трения

Коэффициент динамичности применяется для оценки влияния частоты возмущающей силы. Так же он показывает во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний больше статического отклонения.

Непосредственное определение коэффициента n затруднительно. Поэтому в формулу (1) целесообразно вместо n ввести коэффициент поглощения ψ. Тогда

β = 1 ( 1 − ω 2 p 2 ) 2 + ψ 2 4 π 2 ( 2 ) {displaystyle eta ={frac {1}{sqrt {(1-{frac {omega ^{2}}{p^{2}}})^{2}+{frac {psi ^{2}}{4pi ^{2}}}}}}qquad qquad (2)}

Преимуществом формулы (2) является то, что коэффициент динамичности поставлен в зависимость от энергетической характеристики трения ψ, что позволяет использовать эту формулу не только для вязкого трения, но и для других законов трения.

Можно также ввести в формулу для коэффициента динамичности логарифмический декремент δ. Воспользовавшись приближенной зависимостью

δ ≈ 1 2 ψ ω = p {displaystyle delta approx {frac {1}{2psi _{omega =p}}}}

получим

β = 1 ( 1 − ω 2 p 2 ) 2 + ( δ π ) 2 ( ω p ) 2 ( 3 ) {displaystyle eta ={frac {1}{sqrt {(1-{frac {omega ^{2}}{p^{2}}})^{2}+({frac {delta }{pi }})^{2}({frac {omega }{p}})^{2}}}}qquad qquad (3)}

Из анализа приведённых выше зависимостей следует, что при приближении частоты возмущения ω к частоте собственных колебаний p коэффициент динамичности возрастает. Максимум амплитуды колебаний достигается при ω/p=1; при этом

β m a x = 2 π Ψ ( ω = p ) ≈ π δ ( 4 ) {displaystyle eta _{max}={frac {2pi }{Psi _{(omega =p)}}}approx {frac {pi }{delta }}qquad qquad (4)}

где

  • δ — логарифмический декремент колебаний
  • ω — частота возмущения
  • p — собственная частота колебаний

По аналогии с электрическими системами эта величина называется добротностью механической системы.






Яндекс.Метрика