Формула полной вероятности

Формула полной вероятности позволяет вычислить вероятность интересующего события через условные вероятности этого события в предположении неких гипотез, а также вероятностей этих гипотез.

Формулировка

Пусть дано вероятностное пространство ( Ω , F , P ) {displaystyle (Omega ,{mathcal {F}},mathbb {P} )} , и полная группа попарно несовместных событий { B i } i = 1 n ⊂ F {displaystyle {B_{i}}_{i=1}^{n}subset {mathcal {F}}} , таких что

∀ i P ( B i ) > 0 ; {displaystyle forall i;mathbb {P} ;(B_{i})>0;}

∀ j ≠ i B i ∩ B j = ∅ ; {displaystyle forall {j eq i};B_{i}cap B_{j}=varnothing ;}

⋃ i = 1 n B i = Ω . {displaystyle igcup _{i=1}^{n}B_{i}=Omega .}

Пусть A ∈ F {displaystyle Ain {mathcal {F}}} — интересующее нас событие. Тогда получим:

P ( A ) = ∑ i = 1 n P ( A ∣ B i ) P ( B i ) {displaystyle mathbb {P} (A)=sum limits _{i=1}^{n}mathbb {P} (Amid B_{i})mathbb {P} (B_{i})} .

Замечание

Формула полной вероятности также имеет следующую интерпретацию. Пусть N {displaystyle N} — случайная величина, имеющая распределение

P ( N = n ) = P ( B n ) {displaystyle mathbb {P} (N=n)=mathbb {P} (B_{n})} .

Тогда

P ( A ) = E [ P ( A ∣ N ) ] {displaystyle mathbb {P} (A)=mathbb {E} left[mathbb {P} (Amid N) ight]} ,

т.е. априорная вероятность события равна среднему его апостериорной вероятности.