Надстройка (динамические системы)
Надстройка в теории динамических систем — специальным образом построенное векторное поле, динамика которого моделирует динамику итераций данного диффеоморфизма F : M → M {displaystyle F:M o M} многообразия M {displaystyle M} . Процедура построения надстройки является в определённом смысле обратной к взятию отображения Пуанкаре на трансверсальном сечении к потоку, и в определённом смысле обосновывает нестрогое утверждение «эффекты, которые наблюдаются для отображений в размерности k {displaystyle k} , наблюдаются для потоков в размерности k + 1 {displaystyle k+1} ». Обобщением понятия надстройки является специальный поток — в этом случае, время возвращения берётся непостоянным.
Определение
Надстройкой над диффеоморфизмом F : M → M {displaystyle F:M o M} многообразия M {displaystyle M} называется поток, заданный векторным полем ∂ / ∂ t {displaystyle partial /partial t} на многообразии
M ~ = { ( x , t ) | x ∈ M , t ∈ [ 0 , 1 ] } / ( ( x , 1 ) ∼ ( F ( x ) , 0 ) ) . {displaystyle { ilde {M}}={(x,t)|xin M,tin [0,1]}/((x,1)sim (F(x),0)).}Иными словами, многообразием потока является произведение M × [ 0 , 1 ] {displaystyle M imes [0,1]} , у которого верхняя и нижняя границы отождествлены по отображению F {displaystyle F} , а векторное поле просто «вертикально». Тем самым, отображение последования за время n {displaystyle n} вдоль этого поля соответствует n {displaystyle n} итерациям F {displaystyle F} по x {displaystyle x} -координате.
Эти поток и многообразие можно также представить как фактор многообразия M × R {displaystyle M imes mathbb {R} } с «вертикальным» векторным полем ∂ / ∂ t {displaystyle partial /partial t} по (коммутирующему с этим полем) действию группы Z {displaystyle mathbb {Z} } , порождённому отображением ( x , t ) ↦ ( F ( x ) , t + 1 ) {displaystyle (x,t)mapsto (F(x),t+1)} .
Обобщением понятия надстройки является специальный поток, в котором время возвращения на сечение M × { 0 } {displaystyle M imes {0}} оказывается функцией. А именно, специальным потоком, соответствующим отображению F {displaystyle F} и функции φ {displaystyle varphi } называется поток, заданный векторным полем ∂ / ∂ t {displaystyle partial /partial t} на многообразии
M ~ = { ( x , t ) | x ∈ M , t ∈ [ 0 , φ ( x ) ] } / ( ( x , φ ( x ) ) ∼ ( F ( x ) , 0 ) ) . {displaystyle { ilde {M}}={(x,t)|xin M,tin [0,varphi (x)]}/((x,varphi (x))sim (F(x),0)).}