Теоретическое обоснование условий подобия моделирования действия взрыва

Кусковатость и разлет разрушенной взрывом массы, подобие которых должно быть обеспечено при моделировании, зависят от: линейных размеров; механических свойств разрушаемой взрывом среды; величины зарядов; времени замедления взрывания зарядов; механических свойств обрушенных пород, контактирующих со взрываемым массивом; коэффициента внутреннего трения обрушенной массы и коэффициента трения ее о стенки блока; механических свойств материала стенок блока, о которые ударяется и по которым скатывается отбитая руда.

За исходные масштабы принимаются: линейный масштаб CL, масштаб ускорений

(модель и натура находятся в поле силы тяжести) и масштаб физической плотности, равный

где Cy — масштаб объемного веса, обусловленный объемным весом эквивалентного материала руды.

Объемный вес эквивалентного материала может быть любым и, как указано выше, принимается за исходное условие. Известно, что масштаб сил CF равен

где Cm — масштаб масс.

Следовательно,

Согласно гипотезе Г.И. Покровского, разрушение крепких порот при взрыве происходит в основном за счет действия отраженной волны растяжения. Поэтому условие подобия напряжений должно быть отнесено к временному сопротивлению среды растяжению о.

Масштаб напряжений С, может быть получен из выражения

где F — сила;

L — линейный размер.

Следовательно,

Подставив сюда значения CF из формулы (2), получим

где E — модуль упругости среды;

е — относительная деформация.

Величина t безразмерная и, следовательно, на модели не должна отличаться от натуры. Поэтому и согласно формуле (3)

Это условие совпадает с условием, принятым Г.Н. Кузнецовым при моделировании удара падающего тела. При взрыве так же как и при ударе, имеет место волновой процесс.

В данном случае материал не монолитен и должен разрушиться по спайкам между частицами. Поэтому найденное условие характеризует максимально допустимый предел прочности материала, точнее — спаек между частицами. Чем ниже временное сопротивление материала разрыву, тем надежнее обеспечивается разрушение всех спаек. Поэтому и, учитывая, что деформации в данном случае не имеют самостоятельного значения, можно принять

Пренебрегая влиянием упругости материала на характер его перемещений в результате ударения частиц друг о друга и о стенки блока, можно упростить условие и для модуля упругости, исходя из следующих соображений. Удельная работа по разрушению единицы объема равна

Соответственно, масштаб удельной работы

Из формул (4) и (6) вытекает

Масштаб удельной работы мог быть найден и как произведение масштаба сил на линейный масштаб.

Для немонолитного материала разрушение всех спаек обеспечится при

Следовательно, с учетом формулы (6)

Масштаб времени Ct, соблюдение которого необходимо при выборе величины замедления зарядов, определится из выражения

Следовательно, при Са=1

Условие подобия величины зарядов определено на основании трудов Г.И. Покровского и И.С. Федорова.

Масштаб скорости равен

Отсюда и из формулы (8)

Скорость выброса материала при взрыве определяется по формуле

где К — коэффициент, зависящий от работоспособности BB, конструкции заряда, скорости детонации и тепловых потерь при данном диаметре заряда, прочности среды и ее объемного веса;

Q — величина заряда.

Отсюда и из формулы (9)

где CQ и К — масштабы моделирования соответствующих величин.

Выразив величины зарядов через их диаметры, длину и объемный пес BB, найдем по формуле (10), что масштаб диаметра зарядов

где Су — масштаб объемного веса заряда ВВ.

При колонковых зарядах масштаб веса заряда в 1 м скважины равен

или, подставив значения из формулы (10)

Известно, что при малом диаметре заряда, близком к критическому, скорость детонации значительно снижается. На модели в ряде случаев придется иметь дело с очень малым диаметром. Имеет значение и так называемый разгон детонации. Длина разгона увеличивается с уменьшением диаметра заряда, тогда как длина заряда на модели много меньше, чем в натуре. Поэтому работоспособность BB на модели может быть снижена. При выборе величины Ск следует также иметь в виду повышенную долю тепловых потерь взрыва при малом диаметре зарядов.

Масштаб объемного веса налегающих обрушенных пород должен быть равен масштабу объемного веса рудного массива.

Обрушенные породы не только отталкиваются взрывом, но и деформируются, что отражается на последующем перемещении масс. Поэтому материал модели обрушенных пород должен отвечать известным требованиям.

При определении зависимости деформации от напряжений можно рассматривать обрушенные породы как сыпучие тела или несвязанные грунты.

В отношении грунтов многие исследователи считают возможным пользоваться для практических целей понятием модуля сжатия. Так, Г.И. Покровский и И.С. Федоров, называя модуль сжатия модулем деформации, относят его к действию удара и взрыва в грунте и рассматривают как некоторый аналог модуля Юнга. Н.П. Богословский и Н.Н. Маслов считают целесообразным в некоторых случаях характеризовать сжимаемость грунтов через модуль сжатия или модуль общей деформации. Н.М. Герасимов и Д.Е. Польшии применительно к грунтам допускают возможность использования для практических целей теории упругости, вводя понятие «обобщенного модуля Юнга».

Таким образом, в пашем случае можно воспользоваться выражением

где А — модуль сжатия среды;

е — относительная деформация.

В простейшем случае f(e) = е или f(e) = en.

Однако характер этой зависимости не имеет значения для определения СA. т.е. масштаба моделирования модуля сжатия, так как величина в безразмерная. Следовательно, модуль имеет размерность такую же, как и o, CA = Co или согласно формуле (3)

где А1 — модуль сжатия в натуре при данном напряжении;

А2 — то же, на модели.

Зависимость модуля сжатия от напряжения для данного случая не изучена. Поэтому приходится ввести следующее разграничение. Обрушенные породы сжимаются под действием взрыва как за счет уплотнения, так и за счет упругой деформации их кусков. Уплотнение, или компрессионное сжатие, происходит в результате разрушения выступов твердых частиц и преодоления сил трения. Процесс этот необратимый, а величина деформации незначительна. Поэтому не имеется особой необходимости в соблюдении подобия компрессионного сжатия. Что же касается упругой деформации, то от нее зависит сила отброса обрушенной массы в обратном направлении и, следовательно, скорость ее падения. Таким образом, не допуская значительной погрешности, можно рассматривать обрушенные породы не как пластичную массу, а как упругую среду. Тогда вместо модуля сжатия рыхлой массы можно задаться масштабом модуля упругости материала твердых частиц

где Cb — масштаб технической плотности (единица минус коэффициент пористости) разрыхленной массы, учитывающий относительную суммарную площадь твердых частиц в сечении.

Влияние упругости материала на характер его перемещения в результате ударения частиц друг о друга и о стенки блока будет одинаково на модели п в натуре при

Из формул (14) и (15) вытекает

и, следовательно, масштаб пористости Cв = 1, что и следовало ожидать для безразмерной величины.

Проф. С.С. Давыдовым установлена приближенная эмпирическая зависимость для скальных пород

где f — коэффициент крепости по шкале проф. М.И. Протодьяконова.

О том, на сколько эта зависимость отвечает действительности, можно судить по данным табл. 19.

На основании этой зависимости можно подбирать, эквивалентный материал по коэффициенту крепости, изученному лучше модуля упругости.

Из формул (15) и (17) масштаб коэффициента крепости равен

Для сходных перемещении обрушенной массы на модели и в натуре должно быть обеспечено подобие углов внутреннего трения ф и углов трения о стенки блока w для обрушенной руды и обрушенных налегающих пород. Величины углов трения безразмерны, поэтому

где Cф и Cw — масштабы соответствующих величин.

Как известно, равенство углов внутреннего трения может быть установлено по равенству углов естественного откоса.

Очевидно, масштаб Cw особенно важен для стенки лежачего бока, по которой скатывается обрушенная масса, где поэтому нельзя ставить смотровое стекло.

На перемещение обрушенных масс может влиять также упругость стенок блока, о которые ударяются падающие частицы.

Соответствующее условие подобия согласно формуле (4) будет

Особые требования к эквивалентному материалу раздробленной на куски скальной породи должны бить предъявлены в тех случаях, когда изучается отбойка руды в зажиме (отбойка руды из массива, контактирующего с раздробленной на куски горной породой, при отсутствии или очень малой величине компенсационного пространства).

В этих случаях определяющее значение имеет уплотнение раздробленной па кутки горной породи, подобие которого обеспечивается по формуле (13). Однако в связи с тем, что формула (13) еще не имеет практического решения в прямой форме, приходится выбирать приближенный вариант. Для этой цели может бить использована формула (4), относящаяся в данном случае к пределу прочности горной породы в массиве на сжатие и на срез. Формула (4) противоречит формуле (17). откуда следует, что скальная порода не подходит в данном случае для эквивалентного материала.

Определение условий подобия для материала модели целика на основе физики действия взрыва

Для контроля найдем переходные множители величин механической характеристики руды с точки зрения физики действия взрыва.

Для изготовления модели взрываемого рудного массива необходимо брать материал, механические свойства которого обеспечивают геометрическое подобие частиц взорванной массы па модели и кусков взорванной руды в натуре при масштабе величины зарядов, обеспечивающем сходные результаты в расположении раздробленного материала.

Имеется гипотеза Г.И. Покровского о разрушении скальных пород при взрыве отраженной волной растяжения. Сущность этой гипотезы состоит в следующем. Скальные породы обладают высокой прочностью па сжатие, особенно в условиях всестороннего сжатия. Поэтому первоначально ударная волна, возникающая при взрыве, вызывает разрушение породы лишь непосредственно около заряда в радиусе, не превышающем приблизительно трех радиусов заряда, и образование радиальных трещин в радиусе, равном приблизительно пяти радиусам заряда. Дальше действие взрыва распространяется в виде упругой волны сжатия, которая при подходе к свободной поверхности массива превращается в отраженную волну растяжения. Последняя и вызывает разрушение породы, сопротивляющейся отрыву примерно в 8—10 раз слабее, чем одноосному сжатию, и в 50—100 раз слабее, чем всестороннему сжатию.

Цент отраженной волны растяжения находится в воздушной среде, напротив заряда, на таком же расстоянии от свободной плоскости, как и заряд. В этом, по разъяснению Г.И. Покровского, проявляются обычные законы отражения волн, известные в акустике и оптике. Применяя заимствованные из этих областей понятия, можно назвать точку, из которой как бы исходит волна растяжения, «мнимым изображением» центра заряда. Отраженная волна распространяется по направлениям, напоминающим силовые линии магнитного поля, в котором заряд и «мнимое изображение» его представляют собой противоположные полюса.

При прохождении отраженной волны растяжения каждый элементарный объем породы деформируется вследствие разности скоростей перемещения материала на концах. Разность эта, очевидно, тем больше, чем больше длина элемента. Начиная с определенной длины, скорость растяжения материала превышает критическую величину, при которой начинается разрушение материала. Этим и определяется расстояние между расчленениями массива в направлении движения отраженной волны. Число расчленений равно частному от деления скорости растяжения материала при взрыва на критическую скорость разрыва материала. Образовавшиеся искривленные пластины разрушаются в поперечных сечениях в связи с растяжением пластин при перемещении по движению волны.

Массив руды на модели должен разрушиться на такое же число кусков, как в натуре, что может быть обеспечено лишь при постоянном масштабе скоростей. Следовательно, найденное выше условие Cф = VCL относится и к масштабу критической скорости растяжения породы.

Согласно принципу сохранения энергии, кинетическая энергия P движущегося материала в данном элементарном объеме должна быть равна упругой потенциальной энергии U, накопленной материалом к моменту выделения его из массива вследствие нарушения сил сцепления по границам, т. е.

Принимая, что скорость движения частиц данного объема по длине при прохождении взрывной волны изменяется по линейномy закону, получим диаграмму работ (Р=f(х) в виде квадратной параболы с максимальными координатами по концам

где S — площадь поперечного сечения рассматриваемого объема материала;

pS — лилейная плотность материала.

vк — критическая скорость растяжения материала, при которой начинается его разрушение.

По диаграмме работ можно найти P как площадь пораболического дополнения

где 1/3 — коэффициент площади параболического дополнения по отношению к прямоугольнику, описанному около параболы.

После преобразования

Как известно из курса сопротивления материалов, потенциальная энергия U равна

где о — предел прочности материала на разрыв;

E — модуль упругости материала.

Подставив значения P, U из формул (22), (23) в формулу (21). получим

Исходя из найденного выше масштаба критической скорости растяжения породы Cv = VCL найдем масштаб временного сопротивления растяжению

Нетрудно увидеть, что это условие согласуется с найденной выше формулой (4).

Изложенное выше относится к разрушению монолитного материала. В нашем случае на модели должны быть разрушены все спайки между рудными частицами. Задачу определения максимально допустимой прочности связующего материала по условию разрушения всех спаек можно решить так же, как и при разрушении монолитной модели целика на куски тех же размеров, что и рудные частицы. Формула (24) характеризует в этом случае максимально допустимый масштаб прочности. Следовательно, в данном случае

Теоретическая возможность подобия явлений и допущения в условиях подобия

В найденных выше масштабах различных величин не имеется взаимных противоречий, что свидетельствует о теоретической возможности подобия явлении при моделировании действия взрыва в эквивалентных материалах.

При составлении условий подобия вид моделируемой прочности руды (прочность на разрыв) принят на основании гипотезы о разрушении скальной породы отраженной волной растяжения, что может неполностью соответствовать действительности.

Возможно, что некоторые допущения сделаны и при установлении зависимости скорости выброса материала от величины заряда и л.н.с.

При определении механических свойств эквивалентного материала обрушенных пород не принималось во внимание компрессионное сжатие.

Поэтому целесообразна экспериментальная проверка условий подобия, что практически возможно в отношении диаметра зарядов и механических свойств руды.