10.01.2021

Оптимизация надежности технологических схем разработки пластов на основе экономико-математического моделирования


При оптимизации технологических схем возможны два подхода с учетом фактора надежности:

— определение оптимальных показателей надежности элементов горного производства при заданных ограничениях по ресурсам (трудовые, материальные, денежные);

— оптимальное распределение ресурсов при заданном ограничении на надежность технологических схем.

Уровень надежности технологической цепи определяется как показателями надежности составляющих ее элементов, так и схемой их взаимосвязи в цепи. Достигнуть некоторого заданного уровня надежности технологической цепи можно различными способами — выбором варианта технологической взаимосвязи, перераспределением надежности составляющих элементов, устройством аккумулирующих емкостей и т. д. Технологическая взаимосвязь и возможность устройства аккумулирующих емкостей определяются принятым вариантом систем разработки и подготовки.

Достижение заданного уровня надежности технологической цепи перераспределением надежности элементов возможно чаще всего при очень большом количестве дискретных сочетаний и комбинаций показателей надежности этих элементов. Причем каждое из возможных сочетаний требует определенных материально-денежных или трудовых затрат. Естественно, необходимо найти такое перераспределение надежности элемента, при котором требуемые затраты были бы минимальными.

Решение этой задачи только с помощью ЭЦВМ наталкивается на ряд трудностей, связанных с перебором очень большого количества вариантов. Использование аналитических методов требует предварительного анализа и установления достоверных расчетно-эмпирических или функциональных непрерывных зависимостей показателей надежности от затрат по каждому элементу.

На основании исследований могут быть рассмотрены задачи оптимизации надежности элементов транспортно-технологических цепочек для следующих зависимостей ресурсов или затрат, требуемых для повышения надежности (коэффициента готовности i-го элемента):
Оптимизация надежности технологических схем разработки пластов на основе экономико-математического моделирования

где B0i — исходная величина затрат i-го элемента, соответствующая исходному уровню коэффициента готовности Kгоi;

ai и ai — соответствующие постоянные, определяемые опытно-статистически.

Рассмотрим случай, когда имеем выражение затрат или ресурсов в виде (4.81):

где Kн0i — искомый уровень коэффициента неисправности.

Рассмотрим сначала задачу оптимального распределения надежности элементов при заданном уровне надежности технологической цепочки угольной шахты для наиболее простого случая с чисто последовательным соединением в ней n элементов, которая впервые предложена А.М. Курносовым, К.Н. Адиловым и др. Стоимостная функция Fn в этом случае с учетом (4.85) выражена как

где В0 — затраты, не влияющие на надежность технологических схем.

Оптимальный коэффициент готовности Kгiопт из стоимостной функции (4.86) нетрудно определить аналитически с помощью метода неопределенных множителей Лагранжа, предварительно представив ее в следующем виде :

Полагая, что коэффициент машинного времени задан, можно принять ограничение EKиi = D. Вспомогательная Функция Лагранжа с учетом принятых ограничений будет

где A — неопределенный множитель Лагранжа.

Исследуем функцию (4.87) на условный экстремум, отыскивая производные функции Фn по Кнi и приравнивая их к нулю:

После несложных алгебраических преобразований

Неизвестное значение множителя Лагранжа можно определить, используя условие EКНi=D:

Рассмотрим наиболее общий случай технологической схемы с последовательно-параллельным соединением в них элементов и звеньев. Предполагая в этом случае в каждой из подсистем 1, 2 и 2* последовательное соединение элементов, коэффициенты машинного времени очистных забоев с учетом (3.107) и (3.107а) можно представить в следующем виде:

где Кнп, Кнп* — коэффициенты неисправности, учитывающие простои лав по всем не рассматриваемым нами причинам;

n — число элементов в подсистеме 1;

m и S — соответственно число элементов в под* системе 2 и 2*.

Стоимостная функция для рассматриваемых технологических цепочек 1—2 и 1—2*

Так как Км и Км* заданы, введем следующие ограничения:

Условие «жесткости» связи при заданных общих нагрузках на обе лавы определяется с учетом (4.94) соотношением надежности подсистем 1—2 и 1—2* между собой

Отношения аu и аu* в реальных системах почти не зависят от распределения надежности между элементами, так как

Следует оговориться, что вместо двух ограничений, а следовательно, и двух множителей Лагранжа, принимаем одно. При этом ограничения (4.94) объединены условием D2+D2*, что накладывает менее жесткие требования к перераспределению надежности объединенных подсистем 1—2 и 1—2*.

Иногда в практических ситуациях условия, определяющие соотношения надежности подсистем 1 и 2 или 1 и 2*, задаются. Эти соотношения при заданных D2 и D2*:

В этом случае задача оптимального распределения надежности элементов подсистем 1, 2 и 21 с использованием метода неопределенных множителей Лагранжа решается просто. Отыскиваются частные производные по Кнi, Кнj и Кнj* и затем приравниваются к нулю:

Из системы (m+n+s) уравнений с (m+n+s+1) неизвестными нетрудно определить с учетом (4.98) и (4.100) неопределенный множитель Л. В результате алгебраических преобразований

Для частного случая, когда цепочки 2 и 2* идентичны по составу и числу входящих в них элементов (например, технологическая схема панельной подготовки с четным числом лав, в ярусе), то оптимальные показатели надежности нетрудно определить по формулам (4.102). При этом предполагаем, что h=h* и D2*=D2.

Для случая транспортно-технологических подсистем, когда заданы соотношения h1 и h1*, а также D2 и D2*, предлагается следующий способ определения оптимальных показателей надежности элементов подсистем 1, 2 и 2*.

Для стоимостной функции (4.93) с учетом ограничений (4.94) может быть составлена вспомогательная функция Лагранжа в следующей форме:

где A1 и A2 — неопределенные множители Лагранжа.

Отыскиваем частные производные функции (4.103) по Кнi, Кнj и Кнj* и и приравниваем их к нулю:

Значения коэффициентов неисправности Кнi, Кнj и Кнj* из системы уравнений (4.104) будет

Значения D2 и D2* с учетом найденных по формуле (4.105) коэффициентов неисправности равны

Решим сначала задачу для частного случая, считая D2=D2*, который предполагает, что надежность обоих очистных забоев, примыкающих к общей цепочке 1, одинакова, хотя цепочки 2 и 2* по составу и количеству входящих в них элементов отличаются. Тогда из системы уравнений (4.106) можно установить, что

Возведя обе части полученного равенства в квадрат и произведя элементарные алгебраические преобразования лучим

Просуммировав значения Кнi, по n, согласно (4.107б), имеем

Используя ограничение по D2 с подстановкой в него значения EKнi, из уравнений (4.106) имеем

Неопределенные множители Лагранжа из уравнений (4.106) и (4.109) есть:

Оптимальные значения коэффициентов неисправности


Для случая, когда при заданных h1 и h1* D2=D1*, предлагается следующий способ определения оптимальных показателей надежности элементов подсистем 1—2 и 1—2*.

Используя ограничения (4.106), можно записать следующее равенство:

После несложных алгебраических преобразований полученного равенства нетрудно представить неопределенный множитель Лагранжа A1 относительно A2:

Подставив полученное значение множителя A1 в уравнение для Kнi, имеем


Находим значения коэффициентов уравнения (4.120) q1, q2, q3, q4, q5:


Решать алгебраическое уравнение (4.120) относительно можно 1/VA2h1* методом О. М. Крыжановского путем разложения на два квадратных уравнения. Предварительно уравнение (4.120) приведем к виду

Разложение уравнения (4.121) на квадратные может быть представлено так:

а1 — значение а во втором приближении.

Решение, например, первого квадратного уравнения относительно 1/VA2h1* дает

Аналогичным образом могут быть определены оптимальные значения Кнi и Kнj с использованием равенств (4.122) и (4.123).

Для более общего случая, когда нельзя принять допущение о постоянстве h1 и h1*, предлагается следующий способ определения оптимальных показателей надежности элементов подсистем 1—2 и 1—2* при ограничениях (4.94) на надежность подсистем. Когда h1 и h1* — коэффициенты, зависящие от надежности элементов, входящих в подсистему 1, вспомогательную функцию Лагранжа можно представить


Отыскиваем частные производные вспомогательной функции по Кнi, Кнj и Кнj* и приравниваем их к нулю:

Введем следующие обозначения:

Из системы уравнений (4.126) значения коэффициентов неисправности с учетом введенных обозначений будут

В дальнейшем для определения оптимальных показателей надежности элементов из формул (4.127) применим метод дифференциального программирования (4.19) в виде следующих равенств:

Условие оптимальности дифференциального программирования (4.128) можно использовать для определения соотношений между


Система ограничений может быть представлена следующим образом:

Из этой системы уравнений (4.130) значения неопределенных множителей Лагранжа представлены так:

Определение оптимальных показателей надежности с помощью найденных неопределенных множителей Лагранжа невозможно, так как в этих множителях содержатся неизвестные значения Кнi, Кнj и Кнj*. Дальнейшее решение задачи сводится к тому, чтобы с использованием условия оптимальности метода дифференциального программирования определить значения EKнi. Это может быть проделано следующим образом.

Сумму коэффициентов неисправности элементов подсистемы 1 можно записать в виде

Равенство (4.133) может быть представлено как уравнение с одним неизвестным относительно ЕКнi. Для этого предварительно значения G1 и G2 с учетом системы ограничений (4.130) представим в следующем виде:

И тогда равенство (4.133) представляет собой уравнение с одним неизвестным ЕКнi в виде

которое можно преобразовать как алгебраическое и в котором искомое значение (ЕКнi) выразится в 8-й степени. Решается оно методом О.М. Крыжановского с использованием стандартных программ на ЭЦВМ.

Для случая, когда форма связи затрат или ресурсов от надежности i-го элемента имеет вид

предлагается следующий способ определения оптимальной надежности элементов в технологической цепочке с чисто последовательным соединением.

Предварительно форма связи затрат от надежности может быть представлена как

Целевая функция, выражающая суммарные затраты по повышению надежности n элементов технологической цепочки, равна

С учетом того, что имеем ограничение ЕКнi=D, вспомогательная функция Лагранжа для (4.136)

Отыскиваем частные производные уравнения Фn относительно Кнi и приравниваем их к нулю:

Уравнение (4.139) можно решить алгебраически приближенным способом, используя метод дифференциального программирования.

Нетрудно установить, что

Значения Кн2, Кн3,..., Кни с извлечением соответствующих корней

Используя ограничения по надежности ЕКнi=D, можно записать

Значения можно разложить в соответствующий биномиальный ряд и ограничиться приближенно двумя первыми членами:

Подставив полученные из системы уравнений (4.144) значения Кн1а2+1, Кн2а3+1, ..., Кнnan+1 в уравнение (4.143), будем иметь


Из уравнения (4.145) нетрудно определить оптимальное значение Кн1:

Тогда оптимальные значения коэффициентов неисправности Кн2, Кн3, ..., Кнn равны

Взяв в разложении членов первые три члена, можно более точно определить оптимальные значения надежности.

Подставив полученные из системы уравнении значения Kн1ai+1 в уравнение (4.148), имеем

Тогда уравнение (4.149) можно представить как квадратное в следующем виде:

Оптимальное значение коэффициента неисправности 1-го элемента

а оптимальные значения коэффициентов неисправности 2-го, 3-го, ..., n-го элементов

В случае, когда имеется система 1—2 и 1—2*, состоящая Из двух идентичных по числу и составу элементов подсистем 2 и 2* (например, система «две лавы панельной подготовка два ярусных штрека — панельный бремсберг — коренной штрек», где две лавы и два ярусных штрека представляют собой идентичные подсистемы 2 и 2*), предлагается следующий способ определения оптимальной надежности технологических элементов при стоимостной функции вида (4.82).

Целевая функция, определяющая суммарные затраты некоторых ресурсов системы 1—2—2* и связанные с показателями надежности технологических элементов, может быть представлена в виде

Ограничение для системы 1—2—2* с идентичными подсистемами 2—2* выразится в виде

где h1-2 — коэффициент, определяющий соотношение надежности подсистем 1 и 2 при заданной суммарной величине коэффициентов неисправности лавы D при отказах подсистем 1 и 2.

Вспомогательная функция Лагранжа

Отыскиваем частные производные функции Фnm по коэффициентам неисправности Кнi и Кнj и приравниваем их к нулю:

Из системы уравнений (4.156) определяем Кнiаi+1 и Кнjaj+1:

Условие оптимальности, согласно методу дифференциального программирования, равно

Выразим значения Кнiai+1 и Knjaj+1 начиная со 2-го элемента, согласно (4.158), относительно коэффициента неисправности 1-го элемента Кнi:

Соответственно значения коэффициентов неисправности i-го и j-го элементов подсистемы 1—2 начиная со 2-го элемента равны

Разложив значения Кн1ai+1 и Kн1aj+1 в ряд Тейлора по степеням, имеем

Просуммируем значения коэффициентов неисправности Кнi и Кнj по n и m с учетом разложения (4.161):

Оптимальный коэффициент неисправности 1-го элемента


Оптимальные значения коэффициентов неисправности i-го и j-го элементов





Яндекс.Метрика